3/6/2023
#1
Đã gửi 04-06-2023 - 19:32
- hoangkimca2k2, ThienDuc1101 và Duc3290 thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#2
Đã gửi 05-06-2023 - 13:19
Bài toán số 5 là "bài toán với cái kết có hậu" (happy ending theorem)
https://en.wikipedia..._ending_problem
Dưới đây là câu chuyện về lịch sử bài toán
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 06-06-2023 - 16:39
Mình giải câu 2.2 như thế này,không biết có sai không :
Đặt $x=a^{2}+b^{2}+c^{2},y=ab+bc+ac$ thì $x\geq y$ và BĐT cần chứng minh trở thành:
$\sqrt{x+2y}\geq \frac{4x}{y}+5$
Ta có:$y=abc \leq \sqrt{\frac{y^{3}}{27}}\Rightarrow y\geq 27\Rightarrow x\geq 27$
Suy ra $\sqrt{x+2y}\geq \sqrt{x+54}$ và $\frac{4x}{y}+5\leq \frac{4x}{27}+5$
Tức là ta cần chứng minh:$ \sqrt{x+54}\geq \frac{4x}{27}+5$
Thật vậy: $\sqrt{x+54}\geq \frac{4x}{27}+5\Leftrightarrow (x-27)(16x+783)\leq 0 $(luôn đúng $\forall x\geq 27$)
$\Rightarrow a+b+c\geq 4\left ( \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \right )+5$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$(thỏa mãn)
- thanhdinhcao yêu thích
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
#4
Đã gửi 06-06-2023 - 16:54
Mình giải câu 2.2 như thế này,không biết có sai không :
Đặt $x=a^{2}+b^{2}+c^{2},y=ab+bc+ac$ thì $x\geq y$ và BĐT cần chứng minh trở thành:
$\sqrt{x+2y}\geq \frac{4x}{y}+5$
Ta có:$y=abc \leq \sqrt{\frac{y^{3}}{27}}\Rightarrow y\geq 27\Rightarrow x\geq 27$
Suy ra $\sqrt{x+2y}\geq \sqrt{x+54}$ và $\frac{4x}{y}+5\leq \frac{4x}{27}+5$
Tức là ta cần chứng minh:$ \sqrt{x+54}\geq \frac{4x}{27}+5$
Thật vậy: $\sqrt{x+54}\geq \frac{4x}{27}+5\Leftrightarrow (x-27)(16x+783)\leq 0 $(luôn đúng $\forall x\geq 27$)
$\Rightarrow a+b+c\geq 4\left ( \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \right )+5$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$(thỏa mãn)
Hình như chỗ này bạn nhầm rồi thì phải
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#5
Đã gửi 06-06-2023 - 17:31
À ừ mình nhầm thật,làm vội quá ko để ý.Nếu chỗ đó sai thì mình chịu rồi.Hình như chỗ này bạn nhầm rồi thì phải
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
#6
Đã gửi 28-12-2023 - 17:21
Câu I,2:
ĐK: $x\geqslant \frac{1}{2}$
$\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}-4+3-\sqrt{2x-1}=0\Leftrightarrow \frac{3x+1-16}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{9-2x+1}{3+\sqrt{2x-1}}=0$
$\Leftrightarrow \frac{3x-15}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{10-2x}{3+\sqrt{2x-1}}=0$
$\Leftrightarrow \left ( x-5 \right )\left ( \frac{3}{\sqrt{3x+1}+4} -\frac{2}{3+\sqrt{2x-1}}\right )=0$
$\Rightarrow$ $x-5=0$ hoặc $\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4} -\frac{2}{3+\sqrt{2x-1}}=0$
Xét: $x-5=0\Leftrightarrow x=5$
Xét:$\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4} -\frac{2}{3+\sqrt{2x-1}}=0$$\Leftrightarrow 2\sqrt{3x+1}+8=9+3\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow 2\sqrt{3x+1}-3\sqrt{2x-1}=1\Rightarrow x=1$
Vậy tập nghiệm của phương trình: S={1;5}
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 28-12-2023 - 17:46
- nonamebroy yêu thích
#7
Đã gửi 31-12-2023 - 09:17
I)1)Ta có $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}=a+b+c\Rightarrow (a^2-ab+b^2)c^2-abc(a+b)+a^2b^2=0 (*) $$\Delta=a^2b^2(a^2+2ab+b^2)-4a^2b^2(a^2-ab+b^2)=-3a^2b^2(a-b)^2$
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0$.
Xét $a \neq b$ thì $\Delta=-3a^2b^2(a-b)^2<0$($*$ vô nghiệm).Xét $a=b$ thì $\Delta=-3a^2b^2(a-b)^2=0$.
Suy ra $a=b$,thế vào giả thiết ban đầu ta được $\frac{a^2}{c}+c=2a \Rightarrow c=a$
Vậy $a=b=c$
2)ĐK:$x \geq \frac{1}{2}$
Phương trình đã cho tương đương với $\sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1\Rightarrow 3x+1=2x+2\sqrt{2x-1}\Rightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=1 (n)\\ x=5 (n) \end{array}\right.$
Vậy nghiệm của phương trình là ${\color{Red} \boxed{x=1;x=5}}$
3)ĐK:$x;y \geq -1;xy \geq 0$
Hệ phương trình đã cho tương đương với $\left\{\begin{matrix} & x+y-\sqrt{xy}=3\\ & x+y+2\sqrt{xy+x+y+1}=7 \end{matrix}\right.$
Đặt $S=x+y;P=xy$ $(S^2 \geq 4P)$ ta được $\left\{\begin{matrix} & S-\sqrt{P}=3\\ & S+2\sqrt{S+P+1}=7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & P=S^2-6S+9\\ & S+2\sqrt{S^2-5S+10}=7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} & S=-1\\ & P=16 \end{matrix}\right (l\bigg). \\ \left\{ \begin{matrix} & S=3\\ & P=0 \end{matrix}\right (n\bigg) . \end{array}\right.$
Vậy $x;y$ là nghiệm của phương trình $X^2-3X=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} X=0\ \\ X=3 \end{array}\right.$
Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)=(3;0);(0;3)$
III)1)Xét $n=2k$ ta có $n^2+3n+1=4k^2+6k+1=2k(2k+3)+1$ là số lẻ
Xét $n=2k+1$ ta có $n^2+3n+1=4k^2+10k+5=2k(2k+5)+5$ là số lẻ
Vậy với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^2+3n+1$ đều là số lẻ
(Còn tiếp )
- Leonguyen yêu thích
#8
Đã gửi 31-12-2023 - 20:05
3/6/2023
Câu bất:
Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$ thì $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
$$xy+yz+zx\geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+5xyz$$
$$\leftrightarrow xy+yz+zx\geq 4(xy+yz+zx)^2-8xyz(x+y+z)+5xyz$$
$$\leftrightarrow 3xyz\geq 4(xy+yz+zx)^2-(xy+yz+zx)(*)$$
Đặt $p=\sum x, q=\sum xy, r=xyz$ bất đẳng thức $(*)$ trở thành
$$3r\geq 4q^2-q$$
Ta có $3q\leq p^2 \rightarrow q\leq \frac{1}{3}\\$
TH1: $q\leq \frac{1}{4}$.Khi đó
$$3r\geq 0 \geq q(4q-1)$$\
TH2:$\frac{1}{4}\leq q \leq \frac{1}{3}$. Áp dụng schur:$3r\geq \frac{p(4q-p^2)}{3}\\$ hay $3r\geq \frac{4q-1}{3}$
Ta cần chứng minh: $\frac{4q-1}{3}\geq 4q^2-q \leftrightarrow (1-3q)(4q-1)\geq 0$, luôn đúng$\\$
Vậy ta có đpcm
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duc3290: 02-01-2024 - 21:23
- Leonguyen yêu thích
#9
Đã gửi 31-12-2023 - 23:07
Câu 5:Gọi 5 điểm đó lần lượt là A, B, C, D, E. Nếu 4 điểm A, B, C, D là đỉnh của một tứ giác lồi thì bài toán được chứng minh.
Nếu 4 điểm A, B, C, D không là đỉnh của một tứ giác lồi thì có 1 điểm (giả sử điểm D) nằm trong tam giác có đỉnh là ba điểm còn lại. Lấy điểm D nằm trong tam giác. Kẻ AD cắt BC tại M. BD cắt AC tại N. CD cắt AB tại P.
- Miền 1: Nằm giữa AD và BC, không chứa điểm B.
- Miền 2: Nằm giữa AD và BC, chứa điểm B.
- Miền 3: Nằm giữa BD và AC, không chứa điểm C.
- Miền 4: Nằm giữa BD và AC, chứa điểm C.
- Miền 5: Nằm giữa CD và AB, không chứa điểm A.
- Miền 6: Nằm giữa CD và AB, chứa điểm A.
- Miền 7: Nửa mặt phẳng bờ là đoạn thẳng AC, không chứa điểm B.
- Miền 8: Nửa mặt phẳng bờ là đoạn thẳng AB, không chứa điểm C.
- Miền 9: Nửa mặt phẳng bờ là đoạn thẳng BC, không chứa điểm A.
Do 5 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng nên điểm E nằm bên trong một miền trong số 9 miền trên.
- Nếu điểm E thuộc miền 1, 4, 8 thì ta chọn 4 điểm E, A, D, B.
- Nếu điểm E thuộc miền 2, 5, 7 thì ta chọn E và A, D, C.
- Nếu điểm E thuộc miền 3, 6, 9 thì ta chọn E và B, D, C.
Vậy, trong mọi trường hợp, ta đều có thể chọn được 4 điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 31-12-2023 - 23:08
- Leonguyen, Hahahahahahahaha và nonamebroy thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đề, vào 10, chuyên
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Chứng minh tứ giác $EFLK$ nội tiếpBắt đầu bởi minminn12, 12-02-2023 hinhhoc, chuyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi thử vào 10 chuyên ĐHSP vòng 2Bắt đầu bởi Syndycate, 04-04-2021 csp, thi thử, vào 10, vòng 2 |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Tài liệu - Đề thi →
Đề thi thử vào 10 chuyên ĐHSP vòng 1Bắt đầu bởi Syndycate, 04-04-2021 thi thử, vào 10, csp |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Chuyên đề toán THCS →
ĐỀ THI VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TRẦN PHÚ - HẢI PHÒNG NĂM HỌC 2018-2019Bắt đầu bởi Arthur Pendragon, 17-06-2018 tài liệu, đề thi, hải phòng và . |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Tài liệu - đề thi THPT →
Thi tốt nghiệp →
Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 sở giáo dục Bình Định năm 2018Bắt đầu bởi nguyenthanhhung1985, 13-06-2018 đề |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh