Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi vào 10 chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2023-2024

đề vào 10 chuyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

3/6/2023

Hình gửi kèm

  • de-tuyen-sinh-lop-10-chuyen-mon-toan-nam-2023-2024-so-gddt-quang-tri-1.png

"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#2
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4991 Bài viết

Bài toán số 5 là "bài toán với cái kết có hậu" (happy ending theorem) :D

https://en.wikipedia..._ending_problem

Dưới đây là câu chuyện về lịch sử bài toán


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#3
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Mình giải câu 2.2 như thế này,không biết có sai không :mellow:  :mellow: :

Đặt $x=a^{2}+b^{2}+c^{2},y=ab+bc+ac$ thì $x\geq y$ và BĐT cần chứng minh trở thành:

                                         $\sqrt{x+2y}\geq \frac{4x}{y}+5$

Ta có:$y=abc \leq \sqrt{\frac{y^{3}}{27}}\Rightarrow y\geq 27\Rightarrow x\geq 27$

 Suy ra $\sqrt{x+2y}\geq \sqrt{x+54}$ và $\frac{4x}{y}+5\leq \frac{4x}{27}+5$

  Tức là ta cần chứng minh:$ \sqrt{x+54}\geq \frac{4x}{27}+5$

 Thật vậy: $\sqrt{x+54}\geq \frac{4x}{27}+5\Leftrightarrow (x-27)(16x+783)\leq 0 $(luôn đúng $\forall x\geq 27$)

              $\Rightarrow a+b+c\geq 4\left ( \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \right )+5$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$(thỏa mãn)


How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#4
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 156 Bài viết

Mình giải câu 2.2 như thế này,không biết có sai không :mellow:  :mellow: :

Đặt $x=a^{2}+b^{2}+c^{2},y=ab+bc+ac$ thì $x\geq y$ và BĐT cần chứng minh trở thành:

                                         $\sqrt{x+2y}\geq \frac{4x}{y}+5$

Ta có:$y=abc \leq \sqrt{\frac{y^{3}}{27}}\Rightarrow y\geq 27\Rightarrow x\geq 27$

 Suy ra $\sqrt{x+2y}\geq \sqrt{x+54}$ và $\frac{4x}{y}+5\leq \frac{4x}{27}+5$

  Tức là ta cần chứng minh:$ \sqrt{x+54}\geq \frac{4x}{27}+5$

 Thật vậy: $\sqrt{x+54}\geq \frac{4x}{27}+5\Leftrightarrow (x-27)(16x+783)\leq 0 $(luôn đúng $\forall x\geq 27$)

              $\Rightarrow a+b+c\geq 4\left ( \frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab} \right )+5$

 Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=3$(thỏa mãn)

Hình như chỗ này bạn nhầm rồi thì phải


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)


#5
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết

Hình như chỗ này bạn nhầm rồi thì phải

À ừ mình nhầm thật,làm vội quá ko để ý.Nếu chỗ đó sai thì mình chịu rồi.

How far are you from me,Fruit?

I am hidden in your heart,Flower.

                                                                                                                                                                                                      (Rabindranath Tagore)


#6
MHN

MHN

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Câu I,2:

ĐK: $x\geqslant \frac{1}{2}$

$\sqrt{3x+1}-\sqrt{2x-1}=1\Leftrightarrow \sqrt{3x+1}-4+3-\sqrt{2x-1}=0\Leftrightarrow \frac{3x+1-16}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{9-2x+1}{3+\sqrt{2x-1}}=0$

$\Leftrightarrow \frac{3x-15}{\sqrt{3x+1}+4}+\frac{10-2x}{3+\sqrt{2x-1}}=0$
$\Leftrightarrow \left ( x-5 \right )\left ( \frac{3}{\sqrt{3x+1}+4} -\frac{2}{3+\sqrt{2x-1}}\right )=0$

$\Rightarrow$ $x-5=0$ hoặc $\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4} -\frac{2}{3+\sqrt{2x-1}}=0$

Xét: $x-5=0\Leftrightarrow x=5$

Xét:$\frac{3}{\sqrt{3x+1}+4} -\frac{2}{3+\sqrt{2x-1}}=0$$\Leftrightarrow 2\sqrt{3x+1}+8=9+3\sqrt{2x-1}\Leftrightarrow 2\sqrt{3x+1}-3\sqrt{2x-1}=1\Rightarrow x=1$

 Vậy tập nghiệm của phương trình: S={1;5}


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 28-12-2023 - 17:46

My mind is :wacko: .

#7
nhancccp

nhancccp

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 130 Bài viết

I)1)Ta có $\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}=a+b+c\Rightarrow (a^2-ab+b^2)c^2-abc(a+b)+a^2b^2=0 (*) $$\Delta=a^2b^2(a^2+2ab+b^2)-4a^2b^2(a^2-ab+b^2)=-3a^2b^2(a-b)^2$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta \geq 0$.

Xét $a \neq b$ thì $\Delta=-3a^2b^2(a-b)^2<0$($*$ vô nghiệm).Xét $a=b$ thì $\Delta=-3a^2b^2(a-b)^2=0$.

Suy ra $a=b$,thế vào giả thiết ban đầu ta được $\frac{a^2}{c}+c=2a \Rightarrow c=a$

Vậy $a=b=c$

2)ĐK:$x \geq \frac{1}{2}$

Phương trình đã cho tương đương với $\sqrt{3x+1}=\sqrt{2x-1}+1\Rightarrow 3x+1=2x+2\sqrt{2x-1}\Rightarrow x^2-6x+5=0\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=1 (n)\\ x=5 (n) \end{array}\right.$

Vậy nghiệm của phương trình là ${\color{Red} \boxed{x=1;x=5}}$

3)ĐK:$x;y \geq -1;xy \geq 0$

Hệ phương trình đã cho tương đương với $\left\{\begin{matrix} & x+y-\sqrt{xy}=3\\ & x+y+2\sqrt{xy+x+y+1}=7 \end{matrix}\right.$

Đặt $S=x+y;P=xy$ $(S^2 \geq 4P)$ ta được $\left\{\begin{matrix} & S-\sqrt{P}=3\\ & S+2\sqrt{S+P+1}=7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & P=S^2-6S+9\\ & S+2\sqrt{S^2-5S+10}=7 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} & S=-1\\ & P=16 \end{matrix}\right (l\bigg). \\ \left\{ \begin{matrix} & S=3\\ & P=0 \end{matrix}\right (n\bigg) . \end{array}\right.$

Vậy $x;y$ là nghiệm của phương trình $X^2-3X=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} X=0\ \\ X=3 \end{array}\right.$

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $(x;y)=(3;0);(0;3)$

III)1)Xét $n=2k$ ta có $n^2+3n+1=4k^2+6k+1=2k(2k+3)+1$ là số lẻ
Xét $n=2k+1$ ta có $n^2+3n+1=4k^2+10k+5=2k(2k+5)+5$ là số lẻ

Vậy với mọi số tự nhiên $n$ thì $n^2+3n+1$ đều là số lẻ

(Còn tiếp )


Chuông vẳng nơi nao nhớ lạ lùng
Ra đi ai chẳng nhớ chùa chung
Mái chùa che chở hồn dân tộc 
Nếp sống bao đời của tổ tông
Thích Mãn Giác

#8
Duc3290

Duc3290

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 67 Bài viết

3/6/2023

Câu bất:

Đặt $x=\frac{1}{a},y=\frac{1}{b},z=\frac{1}{c}$ thì $x,y,z> 0$ và $x+y+z=1$

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

$$xy+yz+zx\geq 4(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2)+5xyz$$

$$\leftrightarrow xy+yz+zx\geq 4(xy+yz+zx)^2-8xyz(x+y+z)+5xyz$$

$$\leftrightarrow 3xyz\geq 4(xy+yz+zx)^2-(xy+yz+zx)(*)$$

Đặt $p=\sum x, q=\sum xy, r=xyz$ bất đẳng thức $(*)$ trở thành

$$3r\geq 4q^2-q$$

Ta có $3q\leq p^2 \rightarrow q\leq \frac{1}{3}\\$

TH1: $q\leq \frac{1}{4}$.Khi đó
$$3r\geq 0 \geq q(4q-1)$$\

TH2:$\frac{1}{4}\leq q \leq \frac{1}{3}$. Áp dụng schur:$3r\geq \frac{p(4q-p^2)}{3}\\$ hay $3r\geq \frac{4q-1}{3}$

Ta cần chứng minh: $\frac{4q-1}{3}\geq 4q^2-q \leftrightarrow (1-3q)(4q-1)\geq 0$, luôn đúng$\\$

Vậy ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Duc3290: 02-01-2024 - 21:23


#9
MHN

MHN

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Câu 5:Gọi 5 điểm đó lần lượt là A, B, C, D, E. Nếu 4 điểm A, B, C, D là đỉnh của một tứ giác lồi thì bài toán được chứng minh.

Nếu 4 điểm A, B, C, D không là đỉnh của một tứ giác lồi thì có 1 điểm (giả sử điểm D) nằm trong tam giác có đỉnh là ba điểm còn lại. Lấy điểm D nằm trong tam giác. Kẻ AD cắt BC tại M. BD cắt AC tại N. CD cắt AB tại P.

  • Miền 1: Nằm giữa AD và BC, không chứa điểm B.
  • Miền 2: Nằm giữa AD và BC, chứa điểm B.
  • Miền 3: Nằm giữa BD và AC, không chứa điểm C.
  • Miền 4: Nằm giữa BD và AC, chứa điểm C.
  • Miền 5: Nằm giữa CD và AB, không chứa điểm A.
  • Miền 6: Nằm giữa CD và AB, chứa điểm A.
  • Miền 7: Nửa mặt phẳng bờ là đoạn thẳng AC, không chứa điểm B.
  • Miền 8: Nửa mặt phẳng bờ là đoạn thẳng AB, không chứa điểm C.
  • Miền 9: Nửa mặt phẳng bờ là đoạn thẳng BC, không chứa điểm A.

Do 5 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng nên điểm E nằm bên trong một miền trong số 9 miền trên.

  • Nếu điểm E thuộc miền 1, 4, 8 thì ta chọn 4 điểm E, A, D, B.
  • Nếu điểm E thuộc miền 2, 5, 7 thì ta chọn E và A, D, C.
  • Nếu điểm E thuộc miền 3, 6, 9 thì ta chọn E và B, D, C.

Vậy, trong mọi trường hợp, ta đều có thể chọn được 4 điểm là đỉnh của một tứ giác lồi.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 31-12-2023 - 23:08

My mind is :wacko: .





Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đề, vào 10, chuyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh