Chủ đề này có 2 trả lời

[Leonguyen]

Cho các số thực dương $a,b,c$ thoả mãn $ab+bc+ca=abc.$

1. Chứng minh $a+b+c\geq9.$

2. Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5.$

(Trích đề thi vào 10 chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2023-2024)

 

Mời các cao nhân vào chém bài này hộ em ạ chứ nản quá rồi 

[Chinchin]

1. Chứng minh $a+b+c\geq9.$

2. Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5.$

(Trích đề thi vào 10 chuyên Lê Quý Đôn - Quảng Trị 2023-2024)

 

Mời các cao nhân vào chém bài này hộ em ạ chứ nản quá rồi 

Đặt $x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}\Rightarrow x+y+z=1$

ycbt $\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant 4\left ( \frac{yz}{x}+\frac{zx}{y}+\frac{xy}{z} \right )+5 \Leftrightarrow \frac{xy+yz+zx}{xyz}\geq 4\frac{\left ( yz \right )^{2}+\left ( zx \right )^{2}+\left ( xy \right )^{2}}{xyz}+5$

$\Leftrightarrow \frac{xy+yz+zx}{xyz}\geq 4\frac{\left ( xy+yz+zx \right )^{2}-2xyz}{xyz}+5$

Đặt $x+y+z=p=1, xy+yz+zx=q, xyz=r$ ta có 

$\frac{q}{r}\geq 4\frac{q^{2}-2r}{r}+5\Leftrightarrow 4q^{2}-3r-q\leqslant 0 (1)$

Mà theo BĐT Schur $p^{2}q+3pr\geq 4q^{2}\Leftrightarrow 4q^{2}-3r-q\leq 0$ thỏa mãn (1)  dẫn đến đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chinchin: 07-06-2023 - 14:03

[HaiDangPham]

Lời giải. 

Từ điều kiện $ab+bc+ca=abc$ ta suy ra $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$. 

Do đó $$\sum \frac{a}{bc}=\sum \frac{a}{b}.\frac{1}{c}=\sum \frac{a}{b}.\left(1-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)= \sum \left( \frac{a}{b}-\frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}\right)=\sum a\left(\frac{1}{b} -\frac{1}{b^2}\right)-1 $$

Điều cần phải chứng minh 

$$a+b+c\geq 4\sum \frac{a}{bc}+5$$

tương đương với 

$$a+b+c \geq 4\left[ \sum a\left(\frac{1}{b} -\frac{1}{b^2}\right)-1\right]+5$$

hay

$$ \sum a\left(\frac{4}{b^2} -\frac{4}{b}+1\right) \geq 1$$

tức là 

$$ \sum a\left(\frac{2}{b}-1\right)^2 \geq 1$$

Như vậy nếu ta đặt $x=\frac{1}{a}, y=\frac{1}{b}, z=\frac{1}{c}$ thì khi đó điều cần phải chứng minh trở thành 

$$ \sum \frac{(2y-1)^2}{x} \geq 1$$ 

với điều kiện $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y+z=1$. 

 

Lưu ý hai bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực $\alpha, \beta, \gamma$ 

$(i)$ $\alpha^2+\beta^2 \geq 2|\alpha.\beta|$

$(ii)$ $|\alpha|+|\beta|+|\gamma| \geq |\alpha+\beta+\gamma|$

Từ đó ta suy ra  

$$\sum \frac{(2y-1)^2}{x}+1 = \sum \left[ \frac{(2y-1)^2}{x}+x \right] \geq 2 \sum |2y-1| $$

và 

$$\sum|2y-1| \geq \left| \sum (2y-1) \right| =\left|2\sum y-3 \right|=1.$$

Vậy ta có điều phải chứng minh. 

 

_____

Một bài toán khó. Việc tìm ra lời giải trên là một sự tình cờ, sau nhiều thử sai.

Ý tưởng chính nằm ở sự kết hợp điều kiện $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1$ và việc xem xét biểu diễn các hạng tử $\frac{a}{bc}, \frac{b}{ac}, \frac{c}{ab}$ theo một cách khác. Một định hướng đúng đắn từ ban đầu kéo theo một cách tự nhiên các suy luận hợp lý sau đó. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 07-06-2023 - 23:23