Đến nội dung

Hình ảnh

Có bao nhiêu cách bỏ 3 bi đỏ và 3 bi xanh vào 5 hộp khác nhau sao cho bi trong cùng một hộp thì cùng màu.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
1/ Có bao nhiêu cách bỏ 3 bi đỏ và 3 bi xanh vào 5 hộp khác nhau sao cho bi trong cùng một hộp thì cùng màu. Biết rằng bi chỉ khác nhau về màu sắc và có thể có hộp không có viên bi nào.
2/ Có bao nhiêu cách bỏ 5 bi đỏ, 5 bi xanh, 5 bi vàng vào 3 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có đúng 5 viên bi, biết rằng các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 07-06-2023 - 16:51

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#2
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

1/ Có bao nhiêu cách bỏ 3 bi đỏ và 3 bi xanh vào 5 hộp khác nhau sao cho bi trong cùng một hộp thì cùng màu. Biết rằng bi chỉ khác nhau về màu sắc và có thể có hộp không có viên bi nào.

$\mathbf{TH1}$ (Có đúng $1$ hộp có bi và chỉ toàn bi đỏ)

+ Chọn $1$ hộp và bỏ $3$ bi đỏ vào đó : $5$ cách.

+ Chia $3$ bi xanh vào $4$ hộp còn lại : $C_6^3$ cách.

$\mathbf{TH2}$ (Có đúng $2$ hộp có bi và chỉ toàn bi đỏ)

+ Chọn $1$ hộp và bỏ $1$ bi đỏ vào đó : $5$ cách.

+ Chọn $1$ hộp khác và bỏ $2$ bi đỏ vào đó : $4$ cách.

+ Chia $3$ bi xanh vào $3$ hộp còn lại : $C_5^2$ cách.

$\mathbf{TH3}$ (Có $3$ hộp có bi và chỉ toàn bi đỏ)

+ Chọn $3$ hộp và bỏ vào mỗi hộp $1$ bi đỏ : $C_5^3$ cách.

+ Chia $3$ bi xanh vào $2$ hộp còn lại : $C_4^1$ cách.

Vậy tổng số cách là $5C_6^3+5.4C_5^2+C_5^3.C_4^1=340$ cách.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#3
chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2494 Bài viết

2/ Có bao nhiêu cách bỏ 5 bi đỏ, 5 bi xanh, 5 bi vàng vào 3 hộp khác nhau sao cho mỗi hộp có đúng 5 viên bi, biết rằng các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc.

Ta có hàm sinh :

$f(x,v)=\left [ \frac{x^0(1-v^6)+x^1(1-v^5)+x^2(1-v^4)+...+x^5(1-v)}{1-v} \right ]^3$

Số cách là $\left [ x^5v^5 \right ]f(x,v)=231$ cách.
 


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#4
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
@chanhquocnghiem : cám ơn anh rất nhiều.
Riêng bài 2/ em xin phép đề nghị "tút" lại hàm sinh để nhìn gọn ghẽ hơn :
Xét đa thức :
$$\begin {align*}
P(x,v)&= \frac{x^0(1-v^6)+x^1(1-v^5)+x^2(1-v^4)+...+x^5(1-v)}{1-v}\\
&=\frac {(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)}{(1-v)}\\
&-\frac{(x^0v^6+x^1v^5+x^2v^4 +x^3v^3+x^4v^2+x^5v^1+x^6v^0 )}{(1-v)}\\
&=\boldsymbol {\frac {1-x^7}{(1-x)(1-v)}-\frac{x^7-v^7}{(x-v)(1-v)}}\\
\Rightarrow \left [x^5v^5 \right ]f(x,v)&=\left [x^5v^5 \right ]P(x,v)^3= 231
\end{align*} $$
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...

#5
Nobodyv3

Nobodyv3

    Generating Functions Faithful

  • Thành viên
  • 935 Bài viết
@chanhquocnghiem: chổc nữa rảnh em xin giải bài 2 mà không dùng hàm sinh.
=========
Dạ thưa đây ạ.
Bài 2 ( không dùng hàm sinh)

Với $k=1,2,3$, gọi $x_k$ ( tương ứng $v_k$) là số bi xanh ( tương ứng là số bi vàng) trong hộp thứ $k$ thì ta có hệ :
$$\begin {cases}
x_1+x_2+x_3=5\\
v_1+v_2+v_3=5 \tag{1}\\
0\leq x_k+v_k\leq 5
\end{cases}$$
Nếu không xét điều kiện ràng buộc thì $(1)$ có số nghiệm nguyên không âm là
$\binom {7}{2}\binom {7}{2}=21^2=441$.
Số nghiệm không thỏa $(1)$ cũng là số nghiệm nguyên không âm của hệ:
$$\begin {cases}
x_2+x_3=s\\
v_2+v_3=t \tag {2} \\
(0\leq s,t< 5)\wedge(s+t<5)
\end{cases}$$
và bằng $\binom {s+1}{1}\binom {t+1}{1}$ cụ thể là :$$\begin {align*}
&t=0\Rightarrow s=0,1,2,3,4\Rightarrow (s+1)(t+1)=1\cdot 15=15\\
&t=1\Rightarrow s=0,1,2,3\Rightarrow 2\cdot 10=20\\
&t=2 \Rightarrow s=0,1,2\Rightarrow 3\cdot 6=18\\
&t=3\Rightarrow s=0,1\Rightarrow 4\cdot 3=12\\
&t=4\Rightarrow s=0\Rightarrow 5\cdot 1=5
\end{align*}$$
Vậy số nghiệm của $(2)$ là :
$15+20+18+12+5=70$
Do đó số cách bỏ các viên bi thỏa yêu cầu là :
$441-3\cdot 70=\boldsymbol {231}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 09-06-2023 - 01:24

===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh