Chủ đề này có 1 trả lời

[do viet anh]

xét hàm số $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ khác hằng và thỏa mãn $f(2xy+x)=f(xy+x)+f(x)f(y) \,\forall x,y \in \mathbb R$. Chứng minh $f(x)$ là hàm lẻ. Tìm tất cả hàm $f$ thỏa mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-06-2023 - 20:55
Tiêu đề & LaTeX

[nguyenhien1212]

$P(u,v)$ là phép thế $x,y$ bởi $u,v$.

Ta có:

$P(0,0):f(0)=0$.

$P\left(x,\dfrac{-1}{2}\right): f(0)=f\left(\dfrac{x}{2}\right)+f(x)f\left(\dfrac{-1}{2}\right)$. (1)

Nếu $f\left(\dfrac{-1}{2}\right)=0 \Rightarrow f(x)=0$ (vô lý)

Do đó $f\left(\dfrac{-1}{2}\right)\ne 0$

$P\left(-1,\dfrac{-1}{2}\right): f(-1)=-1$

$P(x,-1): f(-x)=-f(x) \Rightarrow f$ là hàm lẻ.

Đặt $f\left(\dfrac{1}{2}\right)=t$.

Từ (1) suy ra: $f(x)=f(2x)f\left(\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow f(2x)=\dfrac{1}{t}f(x)$.

$P(x,1):f(3x)=(1+\dfrac{1}{t})f(x)$

$P\left(x,\dfrac{1}{2}\right): f(4x)=f(3x)+tf(2x) \Rightarrow (\dfrac{1}{t^2}-1)f(x)=f(3x)$

$\Rightarrow \dfrac{1}{t^2}-1=1+\dfrac{1}{t} \Rightarrow t=\dfrac{1}{2}$.

$\Rightarrow f(2x)=2f(x).$

$\Rightarrow f(3x)=3f(x).$

$P\left(x,\dfrac{y}{x}\right): f(2y+x)=f(y+x)+f(x)f\left(\dfrac{y}{x}\right)$

$P\left(-x,\dfrac{-y}{x}\right): f(2y-x)=f(y-x)+f(x)f\left(\dfrac{y}{x}\right)$

$\Rightarrow f(2y+x)-f(y+x)=f(2y-x)-f(y-x)$ (*)

Trong $(*)$ cho $x \rightarrow 2x: 2f(x+y)-f(y+2x)=2f(y-x)-f(y-2x)$

$\Rightarrow 2f(x+y)-f(2y+x)=2f(x-y)-f(x-2y)$(**)

Từ $(*)$ và $(**)$ suy ra: $f(x+y)+2f(x-2y)=3f(x-y) \Rightarrow f(x+y)+f(2x-4y)=f(3x-3y)$

$\Rightarrow f$ cộng tính.

Dễ dàng suy ra $f$ nhân tính. 

Từ đó $f(x)=x$