Cho các số thực $a,b,c$ không âm thoải mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\sqrt{a^3+b^2+2c}+ \sqrt{b^3+c^2+2a} + \sqrt{c^3+a^2+2b}\ge 6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-06-2023 - 20:54
Tiêu đề & LaTeX
Cho các số thực $a,b,c$ không âm thoải mãn $a+b+c=3$. Chứng minh rằng $\sqrt{a^3+b^2+2c}+ \sqrt{b^3+c^2+2a} + \sqrt{c^3+a^2+2b}\ge 6$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 07-06-2023 - 20:54
Tiêu đề & LaTeX
Ta có:$ \sqrt{a^{3}+b^{2}+2c}\geq \sqrt{a^{3}+2(b+c)-1}=\sqrt{a^{3}-2a+5}$
Xét:$ \sqrt{a^{3}-2a+5}\geq \frac{a+7}{4}\Leftrightarrow (a-1)^{2}(16a+31)\geq 0$ (luôn đúng $\forall a\geq 0$)
$\Rightarrow \sqrt{a^{3}+b^{2}+2c}\geq \frac{a+7}{4}$
Tương tự cộng lại ta có:$ \Rightarrow \sum \sqrt{a^{3}+b^{2}+2c}\geq 6$
Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c=1$ ( thoả mãn)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 08-06-2023 - 21:25
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
$\sqrt{a^{3}+2(b+c)-1}\geq \sqrt{a^{3}-2a+5}$
Chỗ này là dấu "=" nhỉ bạn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 08-06-2023 - 21:21
Chỗ này là dấu "=" nhỉ bạn.
À ừ để mình sửa
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huytran08: 08-06-2023 - 21:25
How far are you from me,Fruit?
I am hidden in your heart,Flower.
(Rabindranath Tagore)
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{1}{\sqrt{a^{5}+b^{2}+ab+6}}\leq 1$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 21-01-2024 bất đẳng thức |
|
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh