Chủ đề này có 1 trả lời

[William Nguyen]

Giải phương trình sau:

$10x^3-13x^2+6x-1+2(x^2-x)\sqrt{2x-3x^2}=0$

[nhancccp]

Em xin đóng góp hai cách giả cho bài này,cách thứ nhất là bình phương và cách thứ hai là dùng hàm đặc trưng

 

Cách thứ nhất:ĐK:$0 \leq x \leq \frac{2}{3}$

Ta có $10x^3-13x^2+6x-1+2(x^2-x)\sqrt{2x-3x^2}=0$$\Rightarrow (10x^3-13x^2+6x-1)^2=4(x^2-x)^2(2x-3x^2)$$\Leftrightarrow 112x^6-292x^5+317x^4-184x^3+62x^2-12x+1=0$$\Leftrightarrow (7x^2-6x+1)(16x^4-28x^3+19x^2-6x+1)=0$$\left[ \begin{array}{l}x=\frac{3+\sqrt{2}}{7}(n)\\x=\frac{3-\sqrt{2}}{7}(l)\end{array} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm $x=\frac{3+\sqrt{2}}{7}$

Cách thứ hai:ĐK:$0 \leq x \leq \frac{2}{3}$

Ta thấy $x=0$ không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế cho $x^3$.Ta được $10-\frac{13}{x}+\frac{6}{x^2}-\frac{1}{x^3}+2\bigg(1-\frac{1}{x}\bigg)\sqrt{\frac{2}{x}-3}=0$

Đặt $t=\frac{1}{x}(t > 0)$ ta có $-t^3+6t^2-13t+10+2(1-t)\sqrt{2t-3})=0\Leftrightarrow t^3-6t^2+13t-10=(2-2t)\sqrt{2t-3}\Leftrightarrow (t-2)^3+(t-2)=(-\sqrt{2t-3})^3-\sqrt{2t-3}$

Xét hàm $f(y)=y^3+y$ có $f'(y)=3y^2+1>0,\forall y \in \mathbb{R}$ nên $f(y)$ luôn đồng biến trên R

Ta có $f(t-2)=f(-\sqrt{2t-3})\Leftrightarrow t-2=-\sqrt{2t-3}\Rightarrow t^2-6t+7=0\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}t=3-\sqrt{2}(n)\\t=3+\sqrt{2}(l)\end{array} \right.$

Vậy $x=\frac{1}{3-\sqrt{2}}=\frac{3+\sqrt{2}}{7}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhancccp: 25-02-2024 - 21:28