Chủ đề này có 1 trả lời

[nmTriet22]

Cho A, B ∈ Mn(R). Chứng minh rằng: det(AB) = det(BA).

[Konstante]

Sử dụng định nghĩa định thức của ma trận qua forme n-linéaire alterné (đa tuyến tính thay phiên?) thì bài này gần như hiển nhiên !!!?. Gọi $e = (e_1, e_2, \dots e_n)$ là cơ sở chính tắc và đặt $f$ là dạng đa tuyến tính thay phiên với $f(e) = 1$ (số chiều của dạng đa tuyến tính trên $R^n$ là 1 nên $f$ xác định), thế thì

 

$$f \circ (a \circ b) = (\det AB) \: f$$

 

với $a$ và $b$ là ánh xạ tuyến tính tương ứng với ma trận $A$ và $B$. Mặt khác

 

$$f \circ (a \circ b) = (f \circ a) \circ b = (\det B) \: f \circ a = (\det B) (\det A) \: f$$

 

Tức là $\det AB = (\det A) (\det B)$, tương tự thì cũng có $\det BA = (\det B) (\det A)$, nên $\det AB = \det BA$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 08-08-2023 - 07:10