Chủ đề này có 1 trả lời

[Nxb]

Give a counter example to the following statement: If $f:X\to Y$ is flat, of finite type with $Y$ locally Noetherian then $f$ is smooth if and only if the fibers $X_y\to \mathrm{Spec}(k(y))$ is smooth for every $y$ ‘’closed’’ in $Y$.

Remark: the above statement is true if $X,Y$ are schemes over a field $k$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 05-07-2023 - 13:17

[vutuanhien]

Give a counter example to the following statement: If $f:X\to Y$ is flat, of finite type with $Y$ locally Noetherian then $f$ is smooth if and only if the fibers $X_y\to \mathrm{Spec}(k(y))$ is smooth for every $y$ ‘’closed’’ in $Y$.

Remark: the above statement is true if $X,Y$ are schemes over a field $k$.

Em thấy có một ví dụ ở đây:https://mathoverflow...hemes-imply-pro

 

Nếu thêm điều kiện $f$ là proper morphism thì kết quả trên là đúng (Bài 6.2.8 trang 227 trong sách của Qing Liu). Ở link trên họ cũng nói properness ảnh hưởng đến kết quả.