Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh của Landau cho bài toán gấp đôi thể tích khối lập phương

* * * * * 1 Bình chọn geometry algebra abstract algebra constructions fields history

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 48 trả lời

#41
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 168 Bài viết

chắc anh nhầm với thầy Nguyễn Minh Hà ở CSP. Thầy Lê Minh Hà là giám đốc điều hành VIASM, chuyên ngành Tôpô đại số.

Giờ mới để ý là bản dịch tiếng Việt này nằm trên trang chính chủ của tác giả luôn. Người dịch là Lê Minh Hà, không biết có phải là thầy Lê Minh Hà phụ trách hình học phẳng cho tạp chí THTT và Toán Tuổi thơ không nhỉ.

Tác giả Milne có tâm thật, viết rất nhiều sách mà sách nào cũng để PDF miễn phí, có cả bản tối ưu dành cho điện thoại máy tính bảng nữa. Rất mong chờ đọc cuốn "2050 Arithmetic Duality Theorems, third edition, first draft" trong 27 năm nữa :D


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#42
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

Em thấy bỏ đi giả thiết $a,b$ dựng được thì mệnh đề càng mạnh hơn chứ nhỉ?

Vấn đề ở đây là "từ hai điểm $A$ và $B$ (và gốc toạ độ) có thể dựng được một đoạn thẳng có độ dài $a+b$, nhưng $a+b$ chưa chắc đã là một số dựng được (theo định nghĩa)". Bạn @manguish đã có trả lời cho em ở phía trên rồi. 


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#43
Nesbit

Nesbit

    ...let it be...

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 2412 Bài viết

chắc anh nhầm với thầy Nguyễn Minh Hà ở CSP. Thầy Lê Minh Hà là giám đốc điều hành VIASM, chuyên ngành Tôpô đại số.

A thì ra là anh nhớ nhầm tên. Cảm ơn @nmlinh16.


Không đọc tin nhắn nhờ giải toán.

 

Góp ý về cách điều hành của mod

 

 


#44
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Mình gặp chút vấn đề với khái niệm điểm dựng được, muốn hỏi thêm mọi người.

 

Giả sử ta có bài toán sau:

Bài toán. Cho trước hai điểm $A(\sqrt[3]{2}; 0)$ và $B(0;1)$. Dựng điểm $C$ thuộc góc phần tư thứ nhất sao cho $BC=OA$.

 

Nếu bằng thước và compa, dựa trên ba điểm $O, A, B$ không khó khăn ta dựng được điểm $C$ qua hai bước:

- Dựng trung điểm $AB$

- Dựng $C$ là điểm đối xứng với $O$ qua trung điểm vừa dựng.

Bây giờ nảy sinh hai câu hỏi: 

Câu hỏi 1. Điểm $C$ có thể coi là điểm dựng được hay không? Nếu theo định nghĩa, do $C$ có toạ độ $(\sqrt[3]{2};1)$ nên không phải là điểm dựng được. Tuy vậy, trong thực tế $C$ vẫn dựng được

Câu hỏi 2. Liệu với phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ, ta có thể xác định trước một điểm không dựng được (theo định nghĩa) như điểm $A$ trong tình huống trên không? 

 

Mình khá lúng túng khi đứng trước tình huống này. Mong mọi người giúp sáng tỏ vấn đề hơn. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 27-07-2023 - 10:56

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#45
manguish

manguish

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Bây giờ nảy sinh hai câu hỏi: 

Câu hỏi 1. Điểm $C$ có thể coi là điểm dựng được hay không? Nếu theo định nghĩa, do $C$ có toạ độ $(\sqrt[3]{2};1)$ nên không phải là điểm dựng được. Tuy vậy, trong thực tế $C$ vẫn dựng được

Câu hỏi 2. Liệu với phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ, ta có thể xác định trước một điểm không dựng được (theo định nghĩa) như điểm $A$ trong tình huống trên không? 

 

Mình khá lúng túng khi đứng trước tình huống này. Mong mọi người giúp sáng tỏ vấn đề hơn. 

 

Em nghĩ sự khó hiểu nằm ở cái khác nhau giữa định nghĩa điểm dựng được trong bài viết và định nghĩa điểm dựng được trong suy nghĩ của anh (và có thể người khác cũng có).

 

Điểm khác biệt: định nghĩa điểm dựng được trong bài viết nhấn mạnh vào hai yếu tố cơ sở dựng hình (hai điểm $(0, 0)$ và $(1, 0)$) và cách thức (bằng thước thẳng và compass); trong khi định nghĩa điểm dựng được trong suy nghĩ của anh dường như lược bỏ cơ sở dựng hình, để cho cơ sở dựng hình là tùy ý. Nếu loại bỏ cơ sở dựng hình trong định nghĩa (tức là để cho cơ sở dựng hình tuỳ ý) thì điểm nào cũng dựng được. Em chọn lấy định nghĩa như trong bài viết để làm tiêu chuẩn (đương nhiên đây là một tiêu chuẩn nhân tạo), để người đọc tuân theo.

 

Cả hai câu hỏi của anh đều bắt nguồn từ việc bỏ quên cơ sở dựng hình.

 

Trả lời câu hỏi 1. Nếu tuân theo định nghĩa điểm dựng được của bài viết #1 thì cả $A$ và $C$ đều không phải điểm dựng được.

 

Trả lời câu hỏi 2. Em hiểu từ "xác định" trong câu hỏi này là "dựng". Câu trả lời của em là không.



#46
HaiDangPham

HaiDangPham

    Sĩ quan

  • Điều hành viên THCS
  • 318 Bài viết

Em nghĩ sự khó hiểu nằm ở cái khác nhau giữa định nghĩa điểm dựng được trong bài viết và định nghĩa điểm dựng được trong suy nghĩ của anh (và có thể người khác cũng có).

 

Điểm khác biệt: định nghĩa điểm dựng được trong bài viết nhấn mạnh vào hai yếu tố cơ sở dựng hình (hai điểm $(0, 0)$ và $(1, 0)$) và cách thức (bằng thước thẳng và compass); trong khi định nghĩa điểm dựng được trong suy nghĩ của anh dường như lược bỏ cơ sở dựng hình, để cho cơ sở dựng hình là tùy ý. Nếu loại bỏ cơ sở dựng hình trong định nghĩa (tức là để cho cơ sở dựng hình tuỳ ý) thì điểm nào cũng dựng được. Em chọn lấy định nghĩa như trong bài viết để làm tiêu chuẩn (đương nhiên đây là một tiêu chuẩn nhân tạo), để người đọc tuân theo.

 

Cả hai câu hỏi của anh đều bắt nguồn từ việc bỏ quên cơ sở dựng hình.

 

Trả lời câu hỏi 1. Nếu tuân theo định nghĩa điểm dựng được của bài viết #1 thì cả $A$ và $C$ đều không phải điểm dựng được.

 

Trả lời câu hỏi 2. Em hiểu từ "xác định" trong câu hỏi này là "dựng". Câu trả lời của em là không.

 

Thực ra không phải anh không hiểu yếu tố "cơ sở" trong phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ, bài viết của em đã nói quá rõ. Ngược lại, chính bởi vì đã hiểu và chấp nhận điều đó nên trong anh mới có những khúc mắc cần giải quyế liên quan tới nó. 

 

Bây giờ anh có câu hỏi thứ ba để làm rõ hơn những nghi ngại của anh, câu hỏi này để làm sáng tỏ hơn câu hỏi 2

Câu hỏi 3. Vậy, với phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ, mọi điểm thuộc về giả thiết bài toán có nhất thiết phải là những điểm dựng được? 

 

Cụ thể, có phải là, ta không thể phát biểu bài toán như anh đã trình bày với $A(\sqrt[3]{2};0)$, mà phải với các điểm dựng được, chẳng hạn $A(\sqrt{2};0)$ hay $A \left(\sqrt{\sqrt{2}-1};0 \right)$? Hay nói cách khác, với một điểm không phải là điểm dựng được, thì liệu có thể coi nó như là giả thiết bài toán, để từ đó triển khai phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ hay không? 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 27-07-2023 - 13:05

"Hap$\pi$ness is only real when shared."

#47
manguish

manguish

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Hay nói cách khác, với một điểm không phải là điểm dựng được, thì liệu có thể coi nó như là giả thiết bài toán, để từ đó triển khai phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ hay không? 

 

Em thấy đây là câu hỏi mang tính quyết định.

 

Định nghĩa, khái niệm điểm dựng được chỉ được áp dụng trong phạm vi bài viết và những nơi dùng khái niệm này. Ở những nơi mà không dùng khái niệm này thì cơ sở dựng hình đã được cho sẵn và nó có thể không giống như định nghĩa của bài viết. Những bài toán dựng hình (mà không nhắc đến khái niệm điểm dựng được) vẫn được bắt gặp thôi đó anh, và sự đề xuất khái niệm điểm dựng được không khiến các bài toán đó trở nên vô lý, không ngăn cản mọi người dựng hình. Chỉ là khái niệm điểm dựng được tỏ ra hữu ích trong việc trả lời bài toán dựng hình lập phương có thể tích gấp đôi thể tích của hình lập phương cho trước.

 

Một số ví dụ:

- Cho sẵn hai điểm $(\pi, 0)$ và $(\pi, 1)$, đương nhiên dựng được đường thẳng đi qua hai điểm này.

- Cho sẵn một tam giác, dựng được tâm đường tròn nội tiếp, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm. Nếu là trong mặt phẳng tọa độ thì tọa độ ba đỉnh của tam giác được cho là thế nào cũng được, miễn là ba đỉnh không thẳng hàng.



#48
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Mình gặp chút vấn đề với khái niệm điểm dựng được, muốn hỏi thêm mọi người.

 

Giả sử ta có bài toán sau:

Bài toán. Cho trước hai điểm $A(\sqrt[3]{2}; 0)$ và $B(0;1)$. Dựng điểm $C$ thuộc góc phần tư thứ nhất sao cho $BC=OA$.

 

Nếu bằng thước và compa, dựa trên ba điểm $O, A, B$ không khó khăn ta dựng được điểm $C$ qua hai bước:

- Dựng trung điểm $AB$

- Dựng $C$ là điểm đối xứng với $O$ qua trung điểm vừa dựng.

Bây giờ nảy sinh hai câu hỏi: 

Câu hỏi 1. Điểm $C$ có thể coi là điểm dựng được hay không? Nếu theo định nghĩa, do $C$ có toạ độ $(\sqrt[3]{2};1)$ nên không phải là điểm dựng được. Tuy vậy, trong thực tế $C$ vẫn dựng được

Câu hỏi 2. Liệu với phép dựng hình trong mặt phẳng toạ độ, ta có thể xác định trước một điểm không dựng được (theo định nghĩa) như điểm $A$ trong tình huống trên không? 

 

Mình khá lúng túng khi đứng trước tình huống này. Mong mọi người giúp sáng tỏ vấn đề hơn. 

Anh có thể hình dung cái này giống như mình làm việc với hệ tọa độ Oxy vậy. Anh có thể chọn các vector cơ sở là $(0; 1)$ và $(1; 0)$, nhưng anh cũng có thể chọn 2 vector khác làm vector cơ sở. Khi đó các công thức và kết quả đã biết vẫn tồn tại, chỉ cần đổi số là áp đụng được. Nhưng ta chọn $(1; 0)$ và $(0; 1)$ để mọi thứ đều thuận tiện.  

 

Với bài toán dựng hình, ta hiểu là dựng các điểm dựa trên một số điểm cơ sở đã có sẵn. Vì thế khái niệm "điểm dựng được" phụ thuộc vào cách anh chọn các điểm cơ sở, chứ không phải một khái niệm tuyệt đối trên mặt phẳng. Các điểm không dựng được trong cơ sở này lại dựng được trên cơ sở khác. Tại các điểm này anh vẫn có thể dựng hình bình thường, nhưng để áp dụng vào chứng minh thì phải nhất quán với các điểm cơ sở mà anh đã chọn. Giống như trong câu hỏi 1 của anh thì $C$ dựng được nếu chọn $A, B$ làm các điểm cơ sở, nhưng khi đó toàn bộ chứng minh phải đổi số theo. Em hy vọng giải thích thế này có thể giúp anh trả lời câu hỏi. 


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#49
L_Euler

L_Euler

    Leonhard Euler

  • Hiệp sỹ
  • 944 Bài viết

Em cảm ơn các anh đã đọc và góp ý xây dựng. Em đã và sẽ tiếp tục cải thiện bài viết. Nhưng em sẽ không thể đáp ứng mọi góp ý trên đây. Bên cạnh việc chia sẻ chứng minh, em cũng muốn phản ánh cách suy nghĩ và cách học của em.

 

Em vất vả và chậm hiểu khi tự học toán. Em gặp khó khăn ngay từ những việc như đọc và tra cứu. Khi học, em tiếp thu từ vài nguồn thay vì chỉ một cuốn giáo trình nào đó. Em cũng ghi chép lại những gì mình học theo cách mình hiểu, cả quá trình suy nghĩ, để về sau còn đọc lại, và chỉnh lại nữa. Em cũng áp dụng lối học này với cả bài tập. Điều này được phản ánh trong bài viết một cách thái quá qua việc em đã over-explain ngay cả với những lập luận, thuật ngữ đơn giản. Em luôn lo sợ người khác không hiểu mình viết gì, lo sợ rằng tồn tại một người đọc cũng gặp khó khăn như mình, và em muốn cung cấp vài từ khóa, thuật ngữ. Nhưng lối viết đó đã phản tác dụng.

 

Thật lòng em có buồn khi đọc nhận xét của các anh, vì sau đó em đã hoài nghi rằng liệu khi lớn tuổi mình có thể học tập trong môi trường đại học không, ngành toán. Điều tốt là qua việc đăng chủ đề và nhận được góp ý từ mọi người từ ngành toán, em mới biết mình cần có chỉnh sửa trong cách viết, cách trình bày, và cả kiến thức. Đây là điều quý giá với người tự học.

 

Em cảm ơn riêng anh @Nxb vì anh đã đọc kĩ và có nhận xét chi tiết cả về mặt trình bày và kiến thức. Về những nội dung như mở rộng trường, em chưa thể bắt đầu trong tương lai gần vì em muốn học một cách cẩn thận và mặt chính trong cuộc sống của em không phải là toán học. Với gợi ý của anh, có thể đó sẽ là chủ đề tiếp theo mà em chia sẻ tới diễn đàn.

 

bạn hãy cứ lắng nghe tiếng nói bên trong và làm những gì cảm thấy thích thú nhất bất kể toán có phải là lựa chọn cho sự nghiệp của bạn hay không. 

 

thực tế càng về sau này khi càng đi lên cao hơn mình thấy phần lớn những người theo nghiệp toán, bất kể lý thuyết, ứng dụng hay công nghiệp, đều khá thiếu cái người ta hay gọi là 'trí thông minh cảm xúc'. nguyên nhân sâu xa là do tất cả bọn họ đều sống thiên về lý tính nhiều hơn. bàn về cái này thì lại hơi lan man vì nó liên quan đến môn tâm lý học mà theo mình thấy hầu hết các nhà khoa học đều bị/được phân loại là các rationalists. ở chiều ngược lại, những bình luận có tính phản biện (critical) lại thực sự quan trọng trong việc giúp cho bất kỳ một nghiên cứu nào trở nên phổ biến và dễ được tiếp nhận hơn bởi những người trong cùng chuyên ngành.

 

Giờ mới để ý là bản dịch tiếng Việt này nằm trên trang chính chủ của tác giả luôn. Người dịch là Lê Minh Hà, không biết có phải là thầy Lê Minh Hà phụ trách hình học phẳng cho tạp chí THTT và Toán Tuổi thơ không nhỉ.

Tác giả Milne có tâm thật, viết rất nhiều sách mà sách nào cũng để PDF miễn phí, có cả bản tối ưu dành cho điện thoại máy tính bảng nữa. Rất mong chờ đọc cuốn "2050 Arithmetic Duality Theorems, third edition, first draft" trong 27 năm nữa :D

 

thời điểm năm 2017 thì Lê Minh Hà chắc vẫn còn là phó chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin trường KHTN HN. cuốn này cũng được dùng làm giáo trình cho môn Lý thuyết Galois lớp em học hồi đại học, người dịch còn lại là Nguyễn Đức Khánh thì là một thằng cu khóa ngay sau em sau này theo anh Hà làm luận văn tốt nghiệp. :D







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: geometry, algebra, abstract algebra, constructions, fields, history

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh