Đến nội dung

Hình ảnh

vấn đề về hàm tử biểu diễn được của phạm trù


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

Bình chọn: nhận xét bài viết

Đây là một cuộc thăm dò công cộng. Thành viên khác sẽ có thể xem những gì bạn đã chọn

bạn thấy bài viết này như thế nào?

Bạn không thể xem kết quả cho đến khi bạn tham gia bình chọn. Vui lòng đăng nhập hoặc đăng ký để tham gia bình chọn và xem kết quả.
Bình chọn Khách không thể bình chọn

#1
Huyen027557

Huyen027557

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Mình muốn xin một bài tập đã giải về hàm tử biểu diễn được để hình dung cách chứng minh và hiểu hơn về đẳng cấu hàm tử



#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 168 Bài viết

Cho $k$ là một trường. Cho $\mathbf{Vect}_k$ và $\mathbf{Set}$ lần lượt là phạm trù các $k$-không gian véctơ và phạm trù các tập hợp. Cho $n$ là số nguyên dương tùy ý và xét hàm tử $F: \mathbf{Vect}_k \to \mathbf{Set}$ cho bởi:

  • Với mỗi không gian véctơ $V$, $F(V)$ là tập hợp $V^n$.
  • Với mỗi ánh xạ tuyến tính $f: V \to W$, $F(f): V^n \to W^m$ là ánh xạ cho bởi $(v_1,\ldots,v_n) \mapsto (f(v_1),\ldots,f(v_n))$.

Ta chỉ ra rằng $F$ là hàm tử biểu diễn được, nghĩa là tồn tại không gian véctơ $E$ cùng một đẳng cấu hàm tử $F \cong \text{Hom}_k(E,-)$. Nói cách khác, ta muốn một đẳng cấu $V^n \cong \text{Hom}_k(E,V)$, và đẳng cấu này tự nhiên theo $V$. Bằng chữ, điều này có nghĩa là: "cho một bộ $n$ phần tử của $V$ cũng chính là cho một ánh xạ tuyến tính từ $E$ vào $V$." Không khó để thấy rằng, đại biểu thích hợp cho $E$ là một không gian véctơ $n$-chiều, vì cho một ánh xạ tuyến tính từ một không gian $n$-chiều vào $V$ chính là cho một bộ $n$ phần tử của $V$.

 

Vậy ta lấy $E = k^n$ và xây dựng đẳng cấu hàm tử $\Phi: F \to \text{Hom}_k(k^n,-)$ như sau. Với mỗi không gian véctơ $V$, ta định nghĩa ánh xạ $\Phi(V): V^n \to \text{Hom}_k(k^n,V)$ bằng cách: với mỗi $(v_1,\ldots,v_n) \in V^n$, $\Phi(V)(v_1,\ldots,v_n): k^n \to V$ là ánh xạ tuyến tính $\alpha$ cho bởi công thức $$\alpha: k^n \to V, \qquad \alpha(a_1,\ldots,a_n) = a_1v_1 + \cdots + a_n v_n,$$ nói cách khác là $\alpha$ được xác định duy nhất bởi công thức $\alpha(e_i) = v_i$ với $i=1,\ldots,n$, trong đó $(e_1,\ldots,e_n)$ là cơ sở chính tắc của $k^n$. Dễ thấy $\Phi(V)$ là một song ánh.

 

Ta còn phải chỉ ra rằng $\Phi$ là một biến đổi tự nhiên từ hàm tử $F$ vào hàm tử $\text{Hom}_k(k^n,-)$. Điều này có nghĩa là với mỗi ánh xạ tuyến tính $f: V \to W$, ta có biểu đồ giao hoán sau 

h1.png

Thật vậy, xét $(v_1,\ldots,v_n) \in V^n$ tùy ý. Khi đó $\Phi(V)(v_1,\ldots,v_n)$ là ánh xạ tuyến tính $\alpha: k^n \to V$ cho bởi công thức $$\alpha: k^n \to V, \qquad \alpha(a_1,\ldots,a_n) = a_1v_1 + \cdots + a_n v_n.$$ Mặt khác, $\Phi(W)((f(v_1),\ldots,f(v_n))$ là ánh xạ tuyến tính $\beta: k^n \to W$ cho bởi công thức $$\beta: k^n \to W, \qquad \beta(a_1,\ldots,a_n) = a_1 f(v_1) + \cdots + a_n f(v_n).$$ Ta có $f \circ \alpha = \beta$, nên biểu đồ trên giao hoán. Vậy $\Phi$ là một đẳng cấu tự nhiên từ hàm tử $F$ vào hàm tử $\text{Hom}_k(k^n,-)$, nói cách khác là hàm tử $F$ biểu diễn được bởi vật $k^n$.


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#3
Huyen027557

Huyen027557

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 5 Bài viết

Mình cảm ơn rất nhiều vì sự phản hồi của bạn. Bạn có thể cho mình nguồn của bài này không ạ, để mình tiện xem những nội dung khác về phạm trù í ạ. Mình chân thành cảm ơn. 



#4
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 168 Bài viết

Có nhiều ví dụ khác về hàm tử biểu diễn được ở đây: https://en.wikipedia...unctor#Examples

 

Bài trên là do mình làm việc với lý thuyết phạm trù nhiều nên quen, chứ không lấy từ nguồn nào cả.

GFH1OqjWEAEBDQq.jpg


$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh