Chủ đề này có 5 trả lời

[hngmcute]

Tìm GTNN $P=2\sqrt{9x^2-6x+2}+3\sqrt{4x^2+4x+2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ngoc Hung: 22-08-2023 - 16:41

[perfectstrong]

Tìm GTNN $P=2\sqrt{9x^2-6x+2}+3\sqrt{4x^2+4x+2}$

Ta thấy có dạng tổng bình phương trong ngoặc, nên ta sẽ viết lại biểu thức để làm xuất hiện tổng đó:

\begin{align*}
  P & = 2\sqrt {9{x^2} - 6x + 2}  + 3\sqrt {4{x^2} + 4x + 2}  \hfill \\
  & = 2\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^2} + 1}  + 3\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 1}  \hfill \\
  & = \sqrt {{{\left( {6x + 2} \right)}^2} + 4}  + \sqrt {{{\left( {6x + 3} \right)}^2} + 9}  \hfill \\
  & = \sqrt {{{\left( {6x - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}}  + \sqrt {{{\left( {6x - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}}  \hfill \\
  & = AB + AC \hfill \\
\end{align*}

Trong đó, $A,B,C$ là các điểm có tọa độ lần lượt là $A\left( {6x;1} \right);B\left( { - 2; - 1} \right);C\left( { - 3; - 2} \right)$.

 

Tới đây, bạn có thể sử dụng một chút kiến thức hình học phẳng để tìm min, hoặc sử dụng BĐT Minkowski:

\[\sqrt {{a^2} + {b^2}}  + \sqrt {{c^2} + {d^2}}  \geqslant \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \]

[QuocMinh2k8]

Ta thấy có dạng tổng bình phương trong ngoặc, nên ta sẽ viết lại biểu thức để làm xuất hiện tổng đó:
\begin{align*}
P & = 2\sqrt {9{x^2} - 6x + 2} + 3\sqrt {4{x^2} + 4x + 2} \hfill \\
& = 2\sqrt {{{\left( {3x + 1} \right)}^2} + 1} + 3\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^2} + 1} \hfill \\
& = \sqrt {{{\left( {6x + 2} \right)}^2} + 4} + \sqrt {{{\left( {6x + 3} \right)}^2} + 9} \hfill \\
& = \sqrt {{{\left( {6x - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {6x - \left( { - 3} \right)} \right)}^2} + {{\left( {1 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2}} \hfill \\
& = AB + AC \hfill \\
\end{align*}
Trong đó, $A,B,C$ là các điểm có tọa độ lần lượt là $A\left( {6x;1} \right);B\left( { - 2; - 1} \right);C\left( { - 3; - 2} \right)$.

Tới đây, bạn có thể sử dụng một chút kiến thức hình học phẳng để tìm min, hoặc sử dụng BĐT Minkowski:
\[\sqrt {{a^2} + {b^2}} + \sqrt {{c^2} + {d^2}} \geqslant \sqrt {{{\left( {a + c} \right)}^2} + {{\left( {b + d} \right)}^2}} \]

Dùng BĐT em thấy dễ hơn
Ra MIN =√25, x=-5/12
Đko ạ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuocMinh2k8: 25-08-2023 - 11:30

[perfectstrong]

Dùng BĐT em thấy dễ hơn
Ra MIN =√25, x=-5/12
Đko ạ?

Bạn chịu khó gõ LaTeX nhé. Còn điểm rơi thì bạn dùng cách nào để tìm ra $x$?

[QuocMinh2k8]

Bạn chịu khó gõ LaTeX nhé. Còn điểm rơi thì bạn dùng cách nào để tìm ra $x$?

Em dùng máy tính bảng nên ko gõ LaTeX được ạ(
Em biến đổi theo bđt thì ra căn của 1 bình phương cộng 1 số. Em giải bình phương cho bằng 0 thôi ạ

[perfectstrong]

LaTeX chỉ là cú pháp gõ thôi bạn

Dấu = BĐT Minkowski xảy ra khi và chỉ khi $ad = bc$. Bạn tính thử xem? Mình tìm ra $\min P=\sqrt{26}$ khi $x=\frac{-2}{5}$.