Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nobodyv3: 19-08-2023 - 02:29
Có bao nhiêu xâu tứ phân kích thước 15 lập từ $\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ không có 2 chữ số 0 liên tiếp.
Bắt đầu bởi Nobodyv3, 18-08-2023 - 22:08
#2
Đã gửi 19-08-2023 - 21:04
Hàm sinh cho các Smirnov words trên tập $\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ là $\left ( 1-\frac{4x}{1+x} \right )^{-1}=1+4x+12x^2+36x^3+108x^4+\cdots \qquad (1)$
Ta tìm các xâu không chứa $00$: từ Smirnov words ta giữ lại các $0$ còn các $1,2,3$ có thể thay với số lượng không ràng buộc thì (1) cho ta:
$$\begin{align*} A(x)&=\left(1-\frac{x}{1+x}-\frac{\frac{3x}{1-x}}{1+\frac{x}{1-x}}\right)^{-1} \\
&=\frac{1+x}{1-3x-3x^2}\\
&= \cdots+ 132543135x^{14}+\boldsymbol {502509177x^{15}}+1905156936x^{16}+ \cdots \end{align*}$$ Vậy có $\color {blue}{502509177} $ xâu thỏa đề bài.
Ta tìm các xâu không chứa $00$: từ Smirnov words ta giữ lại các $0$ còn các $1,2,3$ có thể thay với số lượng không ràng buộc thì (1) cho ta:
$$\begin{align*} A(x)&=\left(1-\frac{x}{1+x}-\frac{\frac{3x}{1-x}}{1+\frac{x}{1-x}}\right)^{-1} \\
&=\frac{1+x}{1-3x-3x^2}\\
&= \cdots+ 132543135x^{14}+\boldsymbol {502509177x^{15}}+1905156936x^{16}+ \cdots \end{align*}$$ Vậy có $\color {blue}{502509177} $ xâu thỏa đề bài.
- chanhquocnghiem yêu thích
===========
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#3
Đã gửi 20-08-2023 - 08:33
Có bao nhiêu xâu tứ phân kích thước 15 lập từ $\left \{ 0,1,2,3 \right \}$ không có 2 chữ số 0 liên tiếp.
Gọi $k$ là số chữ số $0$ có trong xâu đó.
Chọn $k$ vị trí (trong $15$ vị trí) sao cho không có 2 vị trí liên tiếp : $C_{16-k}^k$ cách.
(tham khảo ở đây https://diendantoanh...-số-liên-tiếp/)
Điền $1$, hoặc $2$, hoặc $3$ vào các vị trí còn lại : $3^{15-k}$ cách.
$\Rightarrow$ đáp án là $\sum_{k=0}^{8}C_{16-k}^k3^{15-k}=502509177$.
- Nobodyv3 yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh