Chủ đề này có 2 trả lời

[quack quack]

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}2{+xcos\frac{x}{2}}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}+x}=\frac{1}{3}$

Đây là một phần bài giảng của thầy mình trên lớp. Mình có thắc mắc. Các giới hạn đặc biệt khi tiến đến 0 như $\sin x \sim x$ thì chỉ sử dụng với tích và thương thì tại sao với tổng $\sin(\frac{x}{2}) + x\cos( \frac{x}{2} )$ lại thành $\frac{x}{2}+x$ ?

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-09-2023 - 18:13
Tiêu đề & LaTeX

[QuangDuong1201]

Mình giải thích như sau.

 

Vì khi $x\to 0$ thì $\sin x \sim x$ nên khi $x\to 0$ thì $\sin\left(\frac{x}{2}\right) \sim \frac{x}{2}$. Ngoài ra, khi $x\to 0$ thì $\cos\left(\frac{x}{2}\right)\to 1$. Vì vậy, khi $x\to 0$ thì $x\cos\left(\frac{x}{2}\right) \to x$. Do đó khi $x\to 0$ thì $\sin\left(\frac{x}{2}\right) + x\cos\left(\frac{x}{2}\right) \to \frac{x}{2} + x$.

 

Mình thì sẽ thích cách tính và diễn giải như sau hơn, dù dài hơn.

\[  \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) + x\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)}    \]

 

Vì

\[  \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \qquad\text{và}\qquad \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} + 1  \]

nên

\[  \lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}. \]

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuangDuong1201: 18-09-2023 - 23:54

[Thegooobs]

 

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}2{+xcos\frac{x}{2}}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}+x}=\frac{1}{3}$

Đây là một phần bài giảng của thầy mình trên lớp. Mình có thắc mắc. Các giới hạn đặc biệt khi tiến đến 0 như $\sin x \sim x$ thì chỉ sử dụng với tích và thương thì tại sao với tổng $\sin(\frac{x}{2}) + x\cos( \frac{x}{2} )$ lại thành $\frac{x}{2}+x$ ?

 

 

Ở đây mình có thể dùng định lí sau để giải thích:

Định lý

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x), \\ g(x) \stackrel{x \to a}{\sim}v(x)$ và $u(x),v(x)$ cùng dấu trong 1 lân cận thủng nào đó của $a$ thì $f(x)+g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)+v(x)$

Ở đây ta hiểu 1 lân cận thủng của $a$ là $(a-\delta,a+\delta) \setminus \{a\}$ với $\delta >0$

Dễ thấy 

$$\sin \dfrac{x}{2} \stackrel{x\to 0}{\sim} \dfrac{x}{2}$$

$$x\cos x \stackrel{x \to 0}{\sim} x $$

và $x, \dfrac{x}{2}$ cùng dấu trong 1 lân cận thủng của $0$ (chẳng hạn $(-1,1) \setminus \{0\}$)

nên theo định lí trên ta có:

$$\sin \dfrac{x}{2}+x\cos x \stackrel{x \to 0}{\sim} x+\dfrac{x}{2}$$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 21-02-2024 - 23:03