Chủ đề này có 1 trả lời

[quack quack]

$\lim_{x\rightarrow 0} \frac{sin\frac{x}{2}}{sin\frac{x}2{+xcos\frac{x}{2}}}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}+x}=\frac{1}{3}$

Đây là một phần bài giảng của thầy mình trên lớp. Mình có thắc mắc. Các giới hạn đặc biệt khi tiến đến 0 như $\sin x \sim x$ thì chỉ sử dụng với tích và thương thì tại sao với tổng $\sin(\frac{x}{2}) + x\cos( \frac{x}{2} )$ lại thành $\frac{x}{2}+x$ ?

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-09-2023 - 18:13
Tiêu đề & LaTeX

[QuangDuong1201]

Mình giải thích như sau.

 

Vì khi $x\to 0$ thì $\sin x \sim x$ nên khi $x\to 0$ thì $\sin\left(\frac{x}{2}\right) \sim \frac{x}{2}$. Ngoài ra, khi $x\to 0$ thì $\cos\left(\frac{x}{2}\right)\to 1$. Vì vậy, khi $x\to 0$ thì $x\cos\left(\frac{x}{2}\right) \to x$. Do đó khi $x\to 0$ thì $\sin\left(\frac{x}{2}\right) + x\cos\left(\frac{x}{2}\right) \to \frac{x}{2} + x$.

 

Mình thì sẽ thích cách tính và diễn giải như sau hơn, dù dài hơn.

\[  \frac{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\sin\left(\frac{x}{2}\right) + x\cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)}    \]

 

Vì

\[  \lim\limits_{x\to 0} \frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2} \qquad\text{và}\qquad \lim\limits_{x\to 0} \left(\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right) = \frac{1}{2} + 1  \]

nên

\[  \lim\limits_{x\to 0}\frac{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right)}{\frac{1}{x}\sin\left(\frac{x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}. \]

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi QuangDuong1201: 18-09-2023 - 23:54