Hãy giả sử ta đang làm việc trên một trường $K$ vô hạn nào đó. Gọi $A$ là một ma trận cỡ $(m \times n)$ với $m < n$ và ta xét hệ phương trình $Ax=\beta$ với $\beta \in K^m$. Giả sử phương trình có một nghiệm $x_0$, ta sẽ chứng minh nó có vô số nghiệm. Thực vậy, mọi nghiệm khác của nó đều có dạng $x + x_0$ với $x$ là nghiệm của $Ax=0$. Như vậy chỉ cần chứng minh phương trình thuần nhất $Ax = 0$ có vô số nghiệm.
Nếu bạn xem $A$ như một ánh xạ tuyến tinh thì tập nghiệm của nó chính là $\mathrm{Ker}(A)$ và do đó có số chiều là $n - \mathrm{rank}(A)$ theo định lý đẳng cấu thứ nhất. Tuy nhiên $\mathrm{rank}(A) \leq \mathrm{min} \left \{m,n \right \} = m$ nên số chiều $\dim \mathrm{Ker}(A)>0$, chứng tỏ $Ax=0$ có vô số nghiệm.
Nếu bạn muốn tránh sử dụng công thức số chiều thì có thể sử dụng phép khử Gauss, khi dùng phép khử Gauss với một hệ có số phương trình ít hơn số ẩn, sẽ luôn dư ra một số toạ độ tự do và có thể chọn tuỳ ý, dẫn đến vô hạn cách chọn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 11-11-2023 - 20:37
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$