Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$
Tìm gtnn $P=$ $\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}$
gtnn $P=$ $\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}$
Bắt đầu bởi hngmcute, 27-09-2023 - 19:00
Lời giải Duc3290, 28-11-2023 - 22:17
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$
Tìm gtnn $P=$ $\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}$
Áp dụng bdt AM-GM:
$$P=\sum\frac{1}{2xy^2+1}=\sum (1-\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1})\geq \sum (1-\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{x^2y^4}})=3-\frac{2}{3}\sum \sqrt[3]{xy^2}$$
Ta có: $\sum \sqrt[3]{xy^2} \leq \sum \frac{x+y+y}{3} = \frac{3\sum x}{3}=3$
Vậy $P\geq 3 - 2 = 1$
Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1$
Đi đến bài viết »
#1
Đã gửi 27-09-2023 - 19:00
hngmcute
-
- Thành viên mới
-
- 21 Bài viết
Binh nhất
#2
Đã gửi 28-11-2023 - 22:17
Duc3290
-
- Thành viên mới
-
- 16 Bài viết
Binh nhì
✓ Lời giải
Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $x+y+z=3$
Tìm gtnn $P=$ $\frac{1}{2xy^2+1}+\frac{1}{2yz^2+1}+\frac{1}{2zx^2+1}$
Áp dụng bdt AM-GM:
$$P=\sum\frac{1}{2xy^2+1}=\sum (1-\frac{2xy^2}{xy^2+xy^2+1})\geq \sum (1-\frac{2xy^2}{3\sqrt[3]{x^2y^4}})=3-\frac{2}{3}\sum \sqrt[3]{xy^2}$$
Ta có: $\sum \sqrt[3]{xy^2} \leq \sum \frac{x+y+y}{3} = \frac{3\sum x}{3}=3$
Vậy $P\geq 3 - 2 = 1$
Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow a=b=c=1$
- hngmcute yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
