a,b là số thực không âm
a + b = 1
CM $\frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} \leq \frac{8}{5}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnAn333: 02-10-2023 - 20:30
a,b là số thực không âm a + b = 1 CM $\frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1}$ $\geq \frac{8}{5}$
Bắt đầu bởi AnAn333, 02-10-2023 - 20:27
Lời giải yaWeee, 02-10-2023 - 22:17
a,b là số thực không âm
a + b = 1
CM $\frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} \leq \frac{8}{5}$
Bài này trong đề thi vòng 1 Giảng Võ này=)))
Biến đổi tương đương thôi bạn
$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} - \frac{8}{5} \leq 0 <=> 5(a^{2} + b^{2}) + 10 - 8(a^{2} + b^{2} + a^{2}b^{2} + 1) \leq 0 <=> -3(a^{2}+b^{2})-8a^{2}b^{2}+2 \leq 0 <=> -8a^{2}b^{2}-1 + 6ab \leq 0 <=> (2ab-1)(1-4ab) <=0$
Điều này đúng do $2ab <4ab \leq (a+b)^{2} = 1$
Đi đến bài viết »
#2
Đã gửi 02-10-2023 - 22:17
yaWeee
-
- Thành viên mới
-
- 10 Bài viết
Binh nhì
✓ Lời giải
a,b là số thực không âm
a + b = 1
CM $\frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} \leq \frac{8}{5}$
Bài này trong đề thi vòng 1 Giảng Võ này=)))
Biến đổi tương đương thôi bạn
$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} - \frac{8}{5} \leq 0 <=> 5(a^{2} + b^{2}) + 10 - 8(a^{2} + b^{2} + a^{2}b^{2} + 1) \leq 0 <=> -3(a^{2}+b^{2})-8a^{2}b^{2}+2 \leq 0 <=> -8a^{2}b^{2}-1 + 6ab \leq 0 <=> (2ab-1)(1-4ab) <=0$
Điều này đúng do $2ab <4ab \leq (a+b)^{2} = 1$
- AnAn333 yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh
