Chủ đề này có 1 trả lời

[1problemperday]

$\frac{a}{b(a+b)}+\frac{b}{c(b+c)}+\frac{c}{a(c+a)} \geqslant \frac{3}{2\sqrt[3]{abc}}$
nguồn:Đổi mới và sáng tạo Bất đẳng thức AM-Gm Cauchy schwar

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1problemperday: 18-11-2023 - 21:59

[nguyenhuybao06]

Đặt $abc=k$ $(k>0)$. Theo bất đẳng thức AM-GM ta có $\sum ab\geq3\sqrt[3]{k^2}$ 

Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành $$\sum \frac{a^2bc}{b(a+b)}\geq\frac{3\sqrt[3]{k^2}}{2}\Leftrightarrow\sum \frac{a^2c}{a+b}\geq\frac{3\sqrt[3]{k^2}}{2}\Leftrightarrow\sum \frac{a^2c^2}{ca+bc}\geq\frac{3\sqrt[3]{k^2}}{2}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $$\sum \frac{a^2c^2}{ca+bc}\geq\frac{(\sum ab)^2}{2\sum ab}=\frac{\sum ab}{2}\geq\frac{3\sqrt[3]{k^2}}{2}$$

P/s: Bài này thuần nhất nên có thể chuẩn hóa $abc=1$ cho gọn, nhưng để các bạn chưa học chuẩn hóa hiểu hơn thì mình đặt $abc=k$.