Chủ đề này có 1 trả lời

[fanmu20nam]

Nhờ mọi người giúp em bài này với ạ! Em cảm ơn mọi người rất nhiều!
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$, biết tập hợp tất cả các ước nguyên dương của $n$ là $\begin{Bmatrix} d_1;d_2;d_3;...;d_k \end{Bmatrix}$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} 1=d_1<d_2<d_3<...<d_k \\  d_7-10d_5=1 \\16d_7+d_9=n \end{matrix}\right.$

[Nguyen Bao Khanh]

 Ta có  $16d_7+d_9=n \vdots d_7 \to d_9=kd_7(k \in \mathbb{N^*};k\ge 2)$. Khi đó $16d_7+d_9=n \vdots d_9 \to 16 \vdots k \to k \in \{ 2;4;8;16 \}$

• $k \in \{8;16 \}$. Khi ấy $n$ chia hết cho $d_7.k$ nên $n \vdots 4d_7;n \vdots 2d_7; d_7 < 2d_7 <4d_7<d_9$. Khi đó $d_8$ phải đồng thời nhận ít nhất 2 giá trị $4d_7$ và $2d_7$ (loại)
• $k=2$ thì $n=18d_7$. Do đó $d_2=2;d_3=3$. Lại có $d_7=10d_5+1 \not \vdots 5;\not \vdots 2$ nên $n \not \vdots 5;4$. Từ đó $d_4=6$. Do đó $6 < d_5 \le 9$

 + $d_5=7$ thì $d_7=71$. Khi  đó $n=18.71$, dễ dàng kiểm tra số này có $d_9=213 \neq 2.71$

+ $d_5 = 8$ thì $d_7=81$. Khi đó $n=18.81$ , số này cũng không thỏa

+ $d_5=9 $ thì $d_7=91$. khi đó $n=18.91$, số này không thỏa

•  $k=4$ thì $d_8=2d_7; d_2=2; n=20d_7$, khi đó $2<d_3 \le 4$

+ $d_3=3$ thì $d_4=4;d_5=5 \to d_7=51; n=20.51$, số này không thỏa mãn

+ $d_3=4$ thì $d_4=5$, khi đó $5<d_5 \le 10$, chú ý nếu $n \vdots 6$ hoặc $n \vdots 9$ thì $n \vdots 3$ nhưng $d_2=2<3<4=d_3$ nên 

 Với $d_5=7$ thì $d_7=71 \to n=71.20=1420$, thỏa mãn

 Với $d_5=8$ thì $d_7=81 \to n=81.20=1620$, không thỏa mãn

 Với $d_5=10$ thì $d_7=101 \to n=101.20=2020$, thỏa mãn

Kết luận: $n \in \{ 1420;2020 \}$

Không biết còn thiếu nghiệm nào ko

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyen Bao Khanh: 04-02-2024 - 20:54