Chủ đề này có 1 trả lời

[minhquang47]

Cho $f,g : [a,b] \to \mathbb{R}$ liên tục trên [a,b]. CMR
$\displaystyle\int\limits_{a}^{b}|f(x)g(x)|dx \le \left(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}f^2(x)dx \right)^{1/2}\left(\displaystyle\int\limits_{a}^{b}g^2(x)dx \right)^{1/2}$

[Konstante]

Đặt $I = [a,b]$, các hàm thực liên tục trên $I$ thì bị chặn, nên chúng khả tích (Riemann và Lebesgue) trên $I$, nói cách khác $f,g \in \mathscr{L}_{\mathbb{R}}^1(I, \mathscr{B}(I), l)$, đây cũng là không gian tuyến tính trên $\mathbb{R}$. Kiểm tra trực tiếp, ta thấy ngay không gian này với dạng hermite dương $$\langle f,g \rangle = \int\limits_{I} \lvert fg \rvert \, dl$$ là một không gian prehilbert. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz $\lvert \langle f,g \rangle \rvert \leq \lVert f \rVert \lVert g \rVert $, tức là$$\int\limits_{I} \lvert fg \rvert \, dl \leq \left(\int\limits_{I} \lvert f^2 \rvert \, dl\right)^{1/2} \left(\int\limits_{I} \lvert g^2 \rvert \, dl\right)^{1/2}$$