2 replies to this topic

[hxthanh]

Cho dãy số hữu hạn
$(u_n)_1^9\,:\{u_1,u_2,…,u_9\}$
Gọi $t_k$ là tích các chữ số (viết dưới dạng thập phân) của $u_k$; $\;k=\overline{1,9}$
Khi đó $u_k$ được xác định là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho: $u_k=k. t_k$
- Tim các số hạng của dãy $(u_n)$
- Với định nghĩa như trên, chứng minh rằng $u_{10}$ không tồn tại!

[hxthanh]

Cho dãy số hữu hạn
$(u_n)_1^9\,:\{u_1,u_2,…,u_9\}$
Gọi $t_k$ là tích các chữ số (viết dưới dạng thập phân) của $u_k$; $\;k=\overline{1,9}$
Khi đó $u_k$ được xác định là số nguyên dương nhỏ nhất sao cho: $u_k=k. t_k$
- Tim các số hạng của dãy $(u_n)$
- Với định nghĩa như trên, chứng minh rằng $u_{10}$ không tồn tại!

Ví dụ:
$u_1=1=1.1;\;u_2=36=2.3.6;\;u_3=15=3.1.5;… $
Tiếp sức nào các bạn!

[literallyme]

Biểu diễn thập phân của $u_{k}$ là $\overline{a_{1}\ldots a_{n}}$. Theo định nghĩa của dãy ${(u_{n})}^{9}_{n=1}$ thì $u_{k} = k\prod^{n}_{i=1}a_{i}$ với $k \in \{ 1, 2, \ldots, 9 \}$. Các chữ số trong biểu diễn thập phân của $u_{k}$ phải khác $0$, bởi nếu có ít nhất một số bằng $0$ thì tích của chúng bằng $0$, kéo theo $u_{k} = 0$, mâu thuẫn với việc $u_{k}$ là số nguyên dương. Do đó không tồn tại $u_{10}$. Rộng hơn, nếu $k$ chia hết cho $10$ thì không tồn tại $u_{k}$.

 

Tìm $u_{k}$ tương đương với việc tìm $n$ và $a_{1}, \ldots, a_{n}$ sao cho $\overline{a_{1}\ldots a_{n}} = k\times \prod^{n}_{i=1}a_{i}$. Phía sau $a_{1}$ là $n - 1$ chữ số nguyên dương, do đó $\overline{a_{1}\ldots a_{n}} > a_{1}\times 10^{n-1}$. Bên cạnh đó, $a_{1}\times k \times 9^{n-1} > 4\times \prod^{n}_{i=1}a_{i}$. Vì hai bất đẳng thức này nên ${\left(\frac{10}{9}\right)}^{n-1} < k$.

 

Đến bước này, em chọn cách làm thủ công: xem xét từng giá trị của $k$ từ $1$ đến $9$, lấy ra các giá trị của $n$ thỏa mãn bất đẳng thức trên. Tuy nhiên, với $k = 9$, $n\leq 21$. Cách tiếp cận này của em không đủ chặt, vì xét đến một không gian tìm kiếm quá lớn (dù khả năng của máy tính cá nhân bây giờ dư sức tìm được), và kết quả của bài toán này đều là các số 1, 2, hoặc 3 chữ số thập phân.