Cho V là không gian vectơ các hàm thực liên tục và T là một toán tử tuyến tính trên V được định nghĩa bởi:
$(T f)(x)=\int_{0}^{x}f(t)d t$
Chứng minh rằng T không có trị riêng.
#1
Đã gửi 30-12-2023 - 21:55
minhquang47
-
- Thành viên mới
-
- 24 Bài viết
Binh nhất
#2
Đã gửi 30-12-2023 - 23:45
bangbang1412
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 1670 Bài viết
Độc cô cầu bại
Giả sử $T$ có một giá trị riêng $\lambda$, tức là tồn tại một hàm liên tục $f$ (vì bạn không nói rõ nên mình giả sử nó liên tục trên trục số thực) sao cho $(Tf)(x) = \lambda f(x)$. Điều này suy ra $f$ khả vi, và đạo hàm hai vế cho ta $f(x) = \lambda f'(x)$. Phương trình này có nghiệm $f(x) = e^{\lambda x}$.
Như vậy không những $T$ không có giá trị riêng mà mọi số thực đều là giá trị riêng của $T$.
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#3
Đã gửi 18-05-2024 - 00:12
Hoang Long Le
-
- Thành viên
-
- 284 Bài viết
Thượng sĩ
Giả sử $T$ có một giá trị riêng $\lambda$, tức là tồn tại một hàm liên tục $f$ (vì bạn không nói rõ nên mình giả sử nó liên tục trên trục số thực) sao cho $(Tf)(x) = \lambda f(x)$. Điều này suy ra $f$ khả vi, và đạo hàm hai vế cho ta $f(x) = \lambda f'(x)$. Phương trình này có nghiệm $f(x) = e^{\lambda x}$.
Như vậy không những $T$ không có giá trị riêng mà mọi số thực đều là giá trị riêng của $T$.
Câu này tối nghĩa quá anh :v Và đúng ra thì $T$ không có giá trị riêng thật.
Nếu $\lambda =0$ thì $\int_0^x f(t)dt=0$ với mọi $x$, kết hợp tính liên tục suy ra $f=0$, mâu thuẫn.
Nếu $\lambda\neq 0$, từ phương trình $f(x)=\lambda f'(x)$ suy ra $f(x)=f(0)e^{x/\lambda}$. Lúc này
\[Tf(x)=\int_0^x f(0)e^{t/\lambda}dt=\lambda f(0)(e^{x/\lambda}-1).\]
Từ đó suy ra $f(0)(e^{x/\lambda}-1)=f(0)e^{x/\lambda}$ với mọi $x$, nên $f(0)=0$ và $f=0$, mâu thuẫn.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Long Le: 18-05-2024 - 00:12
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
