Chủ đề này có 4 trả lời

[bangbang1412]

Trước đây mình chỉ sử dụng phạm trù mô hình tuy nhiên giờ đây có một số xây dựng mà mình thấy không thể tiếp tục với phạm trù mô hình. Cụ thể là việc lấy giới hạn đồng luân của các phạm trù mô hình, theo mình biết thì có một định nghĩa trong

• Julia E.Bergner, Homotopy limits of model categories and more general homotopy theories.

về giới hạn lỏng (lax homotopy limits) của các phạm trù mô hình tổ hợp (combinatorial model categories). Vấn đề này có vẻ không xuất hiện trong lý thuyết phạm trù vô hạn: tồn tại phạm trù vô hạn của các phạm trù vô hạn.và ta có thể lấy giới hạn dễ dàng hơn. Mình chưa hiểu chi tiết kỹ thuật nào làm phạm trù mô hình bị "yếu thế" so với phạm trù vô hạn. Dĩ nhiên không nói tới việc mỗi phạm trù mô hình đơn hình đều sinh ra một phạm trù vô hạn chứa "đủ" các thông tin của chính nó thì trên đây là lý do mà mình bắt đầu thử học phạm trù vô hạn. Mình chia sẻ một số note mang tính cá nhân với mọi người xem như một nguồn tham khảo cho ai muốn bắt đầu mà chưa biết bắt đầu từ đâu.

 

Hai cuốn kinh thánh chắc chắn là:

• J. Lurie, Higher Topos Theory (HTT).
• J. Lurie, Higher Algebra (HA).

Và tuỳ theo khẩu vị mà người ta có thể đọc các tài liệu liên quan. Tuy nhiên để bắt đầu với HTT thì không hề dễ, mình giới thiệu một số tài liệu khác mang tính dẫn nhập hơn. Trước tiên mình tin để học phạm trù vô cực, người ta phải biết về lý thuyết các đơn hình và do đó cũng ít nhiều đụng tới phạm trù mô hình, cuốn

• Paul G. Goerss, John F. Jardine, Simplicial Homotopy Theory.

rất đáng tin cậy, đặc biệt là chương đầu tiên về tập đơn hình và chương thứ hai về phạm trù mô hình. Về phạm trù mô hình, hai cuốn kinh điển có lẽ là

• Mark Hovey, Model Categories: cuốn này dẫn nhập về phạm trù mô hình và nếu bạn chỉ muốn tìm hiểu về phạm trù mô hình một cách trừu tượng thì chương một là đủ, nếu bạn muốn các ví dụ thì hai chương sau cũng tốt. Các chương còn lại tuỳ gu.
• Philip S. Hirschhorn, Model Categories and Their Localizations: một "thiếu sót" lớn trong cuốn của Hovey là lý thuyết địa phương hoá Bousfield được trình bày rất chi tiết trong cuốn của Hirschhorn. Cuốn sách này chia làm hai phần, nhưng phần thứ hai phụ thuộc rất chặt vào phần thứ nhất và do đó chương bắt đầu là chương bảy chứ không phải chương một. Cuốn này trình bày mọi thứ cực kỳ chặt chẽ và liên kết mọi phát biểu với nhau nên rất thích hợp để làm trích dẫn.
• J. Ayoub, Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycles évanescents dans le monde motivique: chương bốn luận án của Joseph Ayoub là một tài liệu vô cùng chi tiết về lý thuyết phạm trù mô hình và cực kỳ self-contained. Nó trình bày tất cả những gì bạn cần biết về phạm trù mô hình (địa phương hoá Bousfield đã được đơn giản hoá điều kiện một chút so với cuốn Hirschhorn). Nếu bạn không muốn đọc hai cuốn đầu và muốn một phong cách "đi-thẳng-vào-vấn-đề" thì luận án của Ayoub là một tài liệu trên cả xuất sắc.

Hai tài liệu bên ngoài tham khảo thêm.

• David Barnes, Constanze Roitzheim, Foundations of Stable Homotopy Theory.
• D.C.Cisinski, Higher Categories and Homotopical Algebra.

Bây giờ bạn có thể bắt đầu với phạm trù vô cực (thực chất tài liệu trên chỉ là tham khảo và có lẽ chỉ bắt đầu với cuốn Goerss và Jardine là tạm đủ rồi) một cách không chính thức (tức là không chạm vào HTT hay HA).

• Markus Land, Introduction to Infinity-Categories: một cuốn rất sơ cấp về phạm trù vô hạn, có thể nói là vô cùng baby version của HTT, nó có cả bài tập.
• Charles Rezk, Introduction to quasi-categories: một note trình bày theo phong cách khá chi tiết, phù hợp với ai muốn đọc tài liệu tỉ mỉ. Nhưng nó khá giới hạn về overview.
• Moritz Groth, A short course on $\infty$-categories: một note xuất sắc trình bày những gì bạn nên biết về phạm trù vô hạn. Nó không có mấy chứng minh nhưng mình tin đây là một điểm bắt đầu rất đáng tin cậy. Dù sao người ta nên biết về philosophy of $\infty$-categories trước khi học lý thuyết về chúng và đây là một tài liệu làm được điều này. Nó được viết phần nào giản lược từ đoạn đầu của HTT và HA.
• Fabian Hebestreit, Ferdinand Wagner, Lecture notes for Algebraic and Hermitian K-Theory: ghi chép của Wagner từ bài giảng của Hebestreit, tuy không có chứng minh (chứng minh cần xem lại bài giảng của Hebestreit) nhưng như tài liệu của Groth nó trình bày ý tưởng rất tốt. Có thể đọc sau note của Groth nếu bạn muốn có thêm cái nhìn mang tính kỹ thuật trước khi bắt đầu với HTT.
• Một số tài liệu khác từ phần tham khảo ở nlab.

Và rồi bạn có thể quay lại với HTT và HA. Chúc may mắn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-01-2024 - 20:44

[Nxb]

Nhân post này của Bằng thì mình cũng chia sẻ thêm kinh nghiệm của mình là với những ai tiếp cận toán theo kiểu chính xác một cách khắt khe, thì quyển sách higher topos của Lurie có thể không đạt được tiêu chuẩn này, nên lúc đầu đọc sẽ khá là lấn cấn. Ngoài ra đôi chỗ chứng minh trong HTT vẫn còn phụ thuộc vào phạm trù mô hình. Mình đoán là cuốn higher topos của không thoả mãn chính tiêu chuẩn của Lurie, nên hệ quả là sự ra đời của trang kerodon.net. Có thể kết hợp đọc HTT với kerodon (hiện tại kerodon tương đương với 4 chapter đầu trong HTT + một phần về non-abelian derived categories). 

Có thể sẽ dễ đọc hơn nếu thấy phạm trù vô cực được sử dụng thế nào trong nghiên cứu. Chẳng hạn như có một notes rất tốt gần đây của Can Yaylali về hình học đại số dẫn xuất https://arxiv.org/pdf/2208.01506.pdf. Hoặc áp dụng của vành dẫn xuất (derived rings) (còn được gọi là animated rings bởi Clausen) trong bài báo sau  https://arxiv.org/abs/1912.10932                              

Một điều nữa anh góp ý với Bằng là mọi người gọi là phạm trù vô cực đơn giản vì dấu $\infty$ đã được gọi là vô cực từ lâu. Ngoài ra kích thước của phạm trù ( vô cực ) là một kỹ thuật quan trọng và thực tế có khái niệm phạm trù hữu hạn nên từ phạm trù vô hạn này khiến người nào biết về lý thuyết phạm trù liên tưởng tới một khái niệm khác.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 03-01-2024 - 01:04

[bangbang1412]

Có thể sẽ dễ đọc hơn nếu thấy phạm trù vô cực được sử dụng thế nào trong nghiên cứu. Chẳng hạn như có một notes rất tốt gần đây của Can Yaylali về hình học đại số dẫn xuất https://arxiv.org/pdf/2208.01506.pdf. Hoặc áp dụng của vành dẫn xuất (derived rings) (còn được gọi là animated rings bởi Clausen) trong bài báo sau  https://arxiv.org/abs/1912.10932                         

 

Chắc là không nên đọc phạm trù vô cực nếu không biết sẵn một ứng dụng trong đầu. Bản thân em chỉ đọc vì có vài ý tưởng nghiên cứu cho tương lai và em cảm thấy không thể dùng phạm trù mô hình được nữa. Có sẵn một ứng dụng thì học sẽ biết cái gì cần trước cái gì cần sau.

 

Đợt trước có trao đổi với Ayoub vài câu thì thấy ông có vẻ đã đã chuyển mindset sang phạm trù vô cực hẳn rồi dù ông này là người rất thành thạo về phạm trù mô hình. Hỏi ông thầy thì ông ấy bảo ông ấy biết tính Ayoub, hắn ta chỉ học cái gì đó khi không thể dùng được cái cũ nữa. Bản thân ông ấy thì không học phạm trù vô cực, trước nay chỉ phạm trù tam giác hay derivator là đủ và ông thấy ngày nay người ta dùng phạm trù vô cực nhiều quá, dù nó tiện thật nhưng có vẻ ít người thực sự can thiệp được vào phần lõi lý thuyết.

 

Lúc đấy em thấy cũng đúng, có khi mình lại như ông ấy không cần thiết học lắm. Nhưng vài tuần nghiên cứu thì tự nhiên cảm giác cái công thức của mình mở rộng lên algebraic spaces được, nhưng phải qua một bước lấy giới hạn. Thế là có lý do để học.

[Nxb]

@bangbang1412 Ở đây anh chỉ gợi ý mấy bài đó nếu người nào tự dưng muốn đọc mà chưa có bài toán nào sẵn trong đầu ấy, còn tất nhiên là có bài toán của riêng mình mà có thể áp dụng được vẫn tốt hơn. Lấy giới hạn trong $\infty$-categories nhằm vượt qua trở ngại của lý thuyết phạm trù thông thường là một trong những điểm nổi bật của $\infty$-phạm trù. Anh cũng vì chuyện kiểu như thế trong phạm trù dẫn xuất này mà phải đi dùng $\infty$-phạm trù (trước đây khi chưa biết về $\infty$-phạm trù anh còn lạc sang cả aben hoá của phạm trù dẫn xuất). Bằng có thời gian thì giải thích cái vấn đề mở rộng lên algebraic spaces trong thread này luôn nhé. Anh nghĩ sẽ có nhiều điểm thú vị.

[bangbang1412]

@bangbang1412 Ở đây anh chỉ gợi ý mấy bài đó nếu người nào tự dưng muốn đọc mà chưa có bài toán nào sẵn trong đầu ấy, còn tất nhiên là có bài toán của riêng mình mà có thể áp dụng được vẫn tốt hơn. Lấy giới hạn trong $\infty$-categories nhằm vượt qua trở ngại của lý thuyết phạm trù thông thường là một trong những điểm nổi bật của $\infty$-phạm trù. Anh cũng vì chuyện kiểu như thế trong phạm trù dẫn xuất này mà phải đi dùng $\infty$-phạm trù (trước đây khi chưa biết về $\infty$-phạm trù anh còn lạc sang cả aben hoá của phạm trù dẫn xuất). Bằng có thời gian thì giải thích cái vấn đề mở rộng lên algebraic spaces trong thread này luôn nhé. Anh nghĩ sẽ có nhiều điểm thú vị.

Chưa giải thích được, đang trong giai đoạn nghiên cứu.