Tìm nghiệm thực của hệ phương trình vi phân sau đây:
$\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=3x+y \\ \frac{dy}{dt}=2x+y+z & & \\ \frac{dz}{dt}=-x+y+z & & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 04-01-2024 - 13:27
Tìm nghiệm thực của $\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=3x+y \\ \frac{dy}{dt}=2x+y+z & & \\ \frac{dz}{dt}=-x+y+z & & \end{matrix}\right.$
Bắt đầu bởi Lemonjuice, 04-01-2024 - 13:25
#2
Đã gửi 04-01-2024 - 17:34
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 Bài viết
Thiếu úy
Tìm nghiệm thực của hệ phương trình vi phân sau đây:
$\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=3x+y \\ \frac{dy}{dt}=2x+y+z & & \\ \frac{dz}{dt}=-x+y+z & & \end{matrix}\right.$
Đây là HPT thuần nhất bậc 1, có thể viết lại dưới dạng vector là
\[\bar{x}'=A\bar{x}, \quad A=\begin{pmatrix} 3&1&0\\ 2&1&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix}.\]
Ma trận $A$ có 3 giá trị riêng thực phân biệt $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ cùng với các vector riêng $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ ($v_{i}$ là vector riêng ứng với $\lambda_{i}$). Nghiệm tổng quát của hệ là
\[\bar{x}=\alpha_{1}e^{\lambda_{1}t}v_{1}+\alpha_{2}e^{\lambda_{2}t}v_{2}+\alpha_{3}e^{\lambda_{3}t}v_{3}, \quad \alpha_{i}\in \mathbb{R}.\]
Ở bài này các giá trị riêng của $A$ ra hơi xấu nên mình không viết cụ thể được $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ là gì.
- perfectstrong và Lemonjuice thích
"Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine." (M. Atiyah)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
