Tìm nghiệm thực của hệ phương trình vi phân sau đây:
$\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=3x+y \\ \frac{dy}{dt}=2x+y+z & & \\ \frac{dz}{dt}=-x+y+z & & \end{matrix}\right.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 04-01-2024 - 13:27
Tìm nghiệm thực của $\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=3x+y \\ \frac{dy}{dt}=2x+y+z & & \\ \frac{dz}{dt}=-x+y+z & & \end{matrix}\right.$
Bắt đầu bởi Lemonjuice, 04-01-2024 - 13:25
#2
Đã gửi 04-01-2024 - 17:34
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Tìm nghiệm thực của hệ phương trình vi phân sau đây:
$\left\{\begin{matrix} \frac{dx}{dt}=3x+y \\ \frac{dy}{dt}=2x+y+z & & \\ \frac{dz}{dt}=-x+y+z & & \end{matrix}\right.$
Đây là HPT thuần nhất bậc 1, có thể viết lại dưới dạng vector là
\[\bar{x}'=A\bar{x}, \quad A=\begin{pmatrix} 3&1&0\\ 2&1&1\\ -1&1&1 \end{pmatrix}.\]
Ma trận $A$ có 3 giá trị riêng thực phân biệt $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ cùng với các vector riêng $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ ($v_{i}$ là vector riêng ứng với $\lambda_{i}$). Nghiệm tổng quát của hệ là
\[\bar{x}=\alpha_{1}e^{\lambda_{1}t}v_{1}+\alpha_{2}e^{\lambda_{2}t}v_{2}+\alpha_{3}e^{\lambda_{3}t}v_{3}, \quad \alpha_{i}\in \mathbb{R}.\]
Ở bài này các giá trị riêng của $A$ ra hơi xấu nên mình không viết cụ thể được $v_{1}, v_{2}, v_{3}$ là gì.
- perfectstrong và Lemonjuice thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
