Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi học sinh giỏi quốc gia (VMO) năm 2024


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 675 Bài viết

Đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 2024

Thời gian: 180 phút

 

Ngày thi thứ nhất: 05/01/2024

 

Câu 1 (5 điểm)

Với mỗi số thực $x$, ta gọi $\left [ x \right ]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$.

Cho dãy số $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ xác định bởi: $a_n=\frac{1}{4^{\left [ -\log_4n \right ]}},\forall n\ge 1$. Đặt $b_n=\frac{1}{n^2}\left ( \sum_{k=1}^na_k-\frac{1}{a_1+a_2} \right ),\forall n\ge 1$.

a) Tìm một đa thức $P(x)$ với hệ số thực sao cho $b_n=P\left ( \frac{a_n}{n} \right ),\forall n\ge 1$.

b) Chứng minh rằng tồn tại một dãy số nguyên dương $\{n_k\}_{k=1}^{\infty}$ tăng thực sự sao cho $\lim_{k\to \infty}b_{n_k}=\frac{2024}{2025}.$

 

Câu 2 (5 điểm)

Tìm tất cả các đa thức $P(x),\ Q(x)$ với hệ số thực sao cho với mỗi số thực $a$ thì $P(a)$ là nghiệm của phương trình: $$x^{2023}+Q(a) x^2+(a^{2024}+a)x+a^3+2025a=0.$$

 

Câu 3 (5 điểm)

Cho $ABC$ là tam giác nhọn với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $A'$ là tâm của đường tròn đi qua $C$ và tiếp xúc với $AB$ tại $A$, gọi $B'$ là tâm của đường tròn đi qua $A$ và tiếp xúc với $BC$ tại $B$, gọi $C'$ là tâm của đường tròn đi qua $B$ và tiếp xúc với $CA$ tại $C$.

a) Chứng minh rằng diện tích tam giác $A'B'C'$ lớn hơn hoặc bằng diện tích tam giác $ABC$.

b) Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $O$ lên các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$. Biết rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$ lần lượt cắt lại các đường thẳng $A'B',B'C',C'A'$ tại các điểm $X',Y',Z'(X'\neq X, Y'\neq Y, Z'\neq Z)$. Chứng minh rằng các đường thẳng $AX',BY',CZ'$ đồng quy.

 

Câu 4 (5 điểm)

Người ta xếp $k$ viên bi vào các ô của một bảng $2024\times 2024$ ô vuông sao cho hai điều kiện sau được thỏa mãn: mỗi ô không có quá một viên bi và không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau (hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh).

a) Cho $k=2024$. Hãy chỉ ra một cách xếp thỏa mãn cả hai điều kiện trên mà khi chuyển bất kì viên bi đã được xếp nào sang một ô tùy ý kề với nó thì cách xếp mới không còn thỏa mãn cả hai điều kiện nêu trên.

b) Tìm giá trị $k$ lớn nhất sao cho với mọi cách xếp $k$ viên bi thỏa mãn hai điều kiện trên ta có thể chuyển một trong số các viên bi đã được xếp sang một ô kề với nó mà cách xếp mới vẫn không có hai viên bi nào được xếp ở hai ô kề nhau.

 

 

Ngày thi thứ hai: 06/01/2024

 

Câu 5 (6 điểm)

Với mỗi đa thức $P(x)$, ta đặt

$$\begin{array}{l} P_1(x)=P(x),\ \forall x\in \mathbb{R};\\ P_2(x)=P(P_1(x)),\ \forall x\in \mathbb{R};\\ \quad\quad\quad \dots\\ P_{2024}(x)=P(P_{2023}(x)),\ \forall x\in \mathbb{R}. \end{array}$$

Cho $a$ là số thực lớn hơn $2$. Tồn tại hay không một đa thức $P(x)$ với hệ số thực thỏa mãn điều kiện: với mỗi $t\in(-a;a)$, phương trình $P_{2024}(x)=t$ có đúng $2^{2024}$ nghiệm thực phân biệt?

 

Câu 6 (7 điểm)

Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $\tau(n)$ là số các ước nguyên dương của $n$.

a) Giải phương trình nghiệm nguyên dương $\tau(n)+2023=n$ với $n$ là ẩn số.

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $k$ sao cho có đúng hai số nguyên dương $n$ thỏa mãn phương trình $\tau(kn)+2023=n$.

 

Câu 7 (7 điểm)

Trong không gian, cho đa diện lồi $D$ sao cho tại mỗi đỉnh của $D$ có đúng một số chẵn các cạnh chứa đỉnh đó. Chọn ra một mặt $F$ của $D$. Giả sử ta gán cho mỗi cạnh của $D$ một số nguyên dương sao cho điều kiện sau được thỏa mãn: với mỗi mặt (khác mặt $F$) của $D$, tổng các số được gắn với các cạnh của mặt đó là một số nguyên dương chia hết cho $2024$. Chứng minh rằng tổng các số được gán với các cạnh của mặt $F$ cũng là một số nguyên dương chia hết cho $2024$.

 

 

Nguồn: VnExpress (ngày 1, ngày 2)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-01-2024 - 16:39

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:


#2
dinhvu

dinhvu

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 64 Bài viết

có ai giải được câu 4b chưa ạ?



#3
Thanh Long 2001

Thanh Long 2001

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 32 Bài viết

Đề khó quá, ai có full đáp án không ạ






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh