Đến nội dung

Hình ảnh

Sưu tầm một số bài tập tô-pô đại cương

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Mình có một số bài tập môn tô-pô đại cương đăng lên để mình và các bạn cùng giải. Đây là phần chuẩn bị cho môn condensed math mà mình đang học. Post đầu tiên về không gian Hausdorff. Nhắc lại một số kiến thức.

 

  • Không gian tô-pô gọi là $T_1$ (Frechet) nếu mọi điểm đều đóng.
  • Không gian tô-pô gọi là $T_2$ (Hausdorff) nếu mọi cặp hai điểm đều tách được bởi các lân cận.
  • Không giân tô-pô gọi là $T_4$ nếu mọi cặp hai tập đóng rời nhau đều tách được bởi các lân cận.
  • Không gian tô-pô gọi là chuẩn tắc nếu nó $T1+T4$ (cũng tương đương $T2+T4$).

Bài 1. Chứng minh các khẳng định sau.

  • a) Một không gian con (với tô-pô cảm sinh) của không gian Hausdorff là không gian Hausdorff.
  • b) Cho $(X_i)_{ i\in I}$ là một họ các không gian tô-pô khác rỗng, tích $\prod_{i \in I} X_i$ là Hausdorff khi và chỉ khi mỗi $X_i$ là Hausdorff.
  • c) Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một hệ xạ ảnh các không gian tô-pô, chứng minh rằng nếu mỗi $X_i$ Hausdorff thì $\varprojlim X_i$ là Hausdorff.
  • d) Cho ví dụ chứng tỏ rằng $\varinjlim X_i$ nói chung không Hausdorff ngay cả khi mỗi $X_i$ Hausdorff.

Lời giải:

 

Bài 2. Cho $\pi \colon X \longrightarrow Y$ là một ánh xạ liên tục + toàn ánh giữa hai không gian tô-pô. Giả sử $\pi$ đóng (ảnh của tập đóng là đóng). Chứng minh nếu $X$ là $T_1$ hoặc $T_4$ thì $Y$ có tính chất tương ứng. Nói riêng nếu $X$ chuẩn tắc thì $Y$ là Hausdorff.

 

Lời giải:

 

Bài 3. Chứng minh rằng không gian tô-pô $X$ là Hausdorff khi và chỉ khi ánh xạ đường chéo $\Delta \colon X \longrightarrow X \times X, x \longmapsto (x,x)$ là ánh xạ liên tục đóng.

 

Lời giải:

 

Bài tập dưới đây nâng cao hơn một chút, nhắc lại một số kiến thức: cho $\mathcal{C} \subset\mathcal{D}$ là một phạm trù con đầy đủ, ta gọi $\mathcal{C}$ là phản xạ (refletive) trong $\mathcal{D}$ nếu hàm tử nhúng $\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{D}$ nhận một liên hợp trái.

 

Bài 4. Chứng minh rằng phạm trù các không gian tô-pô Hausdorff là một phạm trù con phản xạ của phạm trù các không gian tô-pô.

 

Lời giải:

 

Gợi ý: sử dụng định lý liên hợp hàm tử của Frey và bài tập số 1).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 21-01-2024 - 02:25

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Phần tiếp theo là về các không gian compact.

 

Bài 5. Chứng minh các khẳng định sau:

  • a) Không gian con đóng của không gian compact là compact.
  • b) Ảnh của không gian compact qua một ánh xạ liên tục là compact.
  • c) Không gian con compact của không gian Hausdorff là không gian con đóng.
  • d) Hợp rời hữu hạn của các không gian compact là compact.

Bài 6. Cho $S$ là một không gian compact + Hausdorff và $R \subset S \times S$ là một quan hệ tương đương. Chứng minh rằng các khẳng say tương đương:

  • $S/R$ với tô-pô thương là compact + Hausdorff.
  • $R \subset S \times S$ là tập con đóng.
  • Ánh xạ chiều $S \longrightarrow S/R$ là đóng.

Bài 7. Cho $S,T$ là các không gian compact + Hausdorff và $f \colon S \longrightarrow T$ là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng các khẳng định sau tương đương:

  • $f$ là một ánh xạ thương.
  • $f$ là một cokernel (theo nghĩa phạm trù).
  • $f$ là một epimorphism (theo nghĩa phạm trù).
  • $f$ là toàn ánh.

Bài 8. Cho $f \colon S \longrightarrow T$ là một ánh xạ liên tục. Giả sử $S,T$ là các không gian compact, Hausdorff và $f$ toàn ánh. Chứng minh rằng tồn tại một tập con đóng $S' \subset S$ cực tiểu sao cho $f_{\mid S'} \colon S' \longrightarrow T$ là toàn ánh.

 

Gợi ý: sử dụng bổ đề Zorn.


$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh