Chủ đề này có 1 trả lời

[bangbang1412]

Mình có một số bài tập môn tô-pô đại cương đăng lên để mình và các bạn cùng giải. Đây là phần chuẩn bị cho môn condensed math mà mình đang học. Post đầu tiên về không gian Hausdorff. Nhắc lại một số kiến thức.

 

• Không gian tô-pô gọi là $T_1$ (Frechet) nếu mọi điểm đều đóng.
• Không gian tô-pô gọi là $T_2$ (Hausdorff) nếu mọi cặp hai điểm đều tách được bởi các lân cận.
• Không giân tô-pô gọi là $T_4$ nếu mọi cặp hai tập đóng rời nhau đều tách được bởi các lân cận.
• Không gian tô-pô gọi là chuẩn tắc nếu nó $T1+T4$ (cũng tương đương $T2+T4$).

Bài 1. Chứng minh các khẳng định sau.

• a) Một không gian con (với tô-pô cảm sinh) của không gian Hausdorff là không gian Hausdorff.
• b) Cho $(X_i)_{ i\in I}$ là một họ các không gian tô-pô khác rỗng, tích $\prod_{i \in I} X_i$ là Hausdorff khi và chỉ khi mỗi $X_i$ là Hausdorff.
• c) Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một hệ xạ ảnh các không gian tô-pô, chứng minh rằng nếu mỗi $X_i$ Hausdorff thì $\varprojlim X_i$ là Hausdorff.
• d) Cho ví dụ chứng tỏ rằng $\varinjlim X_i$ nói chung không Hausdorff ngay cả khi mỗi $X_i$ Hausdorff.

Lời giải:

• a) Giả sử $Y \subset X$ là một không gian con, với hai điểm $x \neq y \in Y$ thì tồn tại hai lân cận $x \in U \subset X, y \in V \subset X$ sao cho $U \cap V = \varnothing$. Khi đó $U \cap Y, V \cap Y$ là hai lân cận tách $x,y$ trong $Y$.
• b) Giả sử các $(X_i)$ là $T_2$. Với hai điểm $x=(x_i) \neq y=(y_i) \in \prod_{i \in I} X_i$, tồn tại ít nhất một toạ độ $x_j \neq y_j$ trong $X_j$, khi đó tồn tại các lân cận mở $x_j \in U_i$ và $y_j \in V_j$ tách hai điểm này. Tích $\prod_{i in I}X_i$ thay toạ độ $j$ bởi $U_i, V_j$ cho ta hai lân cận trong tích tách hai điểm. Lập luận tương tự cho ta chiều ngược lại.
• c) Ở đây chỉ cần lưu ý rằng $\varprojlim X_i$ là một không gian con của $\prod_{i \in I}X_i$ và áp dụng hai phần trước.
• d) Ví dụ kinh điển là đường thẳng có hai gốc toạ độ: lấy $\mathbb{R}$ là tập số thực với tô-pô thông thường, ta xét  $X=(\mathbb{R}_1 \sqcup \mathbb{R}_2)/\sim$ với $\sim$ cho bởi $x \sim y$ nếu $x=y \neq 0$. Hai điểm $0_1 \in \mathbb{R}_1$ và $0_2 \in \mathbb{R}_2$ không thể bị tách trong $X$ (chứng minh!)

 

Bài 2. Cho $\pi \colon X \longrightarrow Y$ là một ánh xạ liên tục + toàn ánh giữa hai không gian tô-pô. Giả sử $\pi$ đóng (ảnh của tập đóng là đóng). Chứng minh nếu $X$ là $T_1$ hoặc $T_4$ thì $Y$ có tính chất tương ứng. Nói riêng nếu $X$ chuẩn tắc thì $Y$ là Hausdorff.

 

Lời giải:

Giả sử $X$ là $T_1$, gọi $y \in Y$ là một điểm, ta sẽ chứng minh $y$ đóng. Tồn tại $x \in X$ sao cho $\pi(x) = y$ nhưng do $x$ đóng nên $y$ đóng do $\pi$ đóng. Giả sử $X$ là $T_4$. Gọi $Z,W$ là hai tập đóng rời nhau của $Y$. Khi đó $\pi^{-1}(Z)$ và $\pi^{-1}(W)$ là hai tập đóng rời nhau của $X$ nên tồn tại hai lân cận $\pi^{-1}(Z) \subset U, \pi^{-1}(W) \subset V$ tách chúng trong $X$. Hãy chứng minh rằng $Y \setminus \pi(X \setminus U)$ và $Y \setminus \pi(X \setminus V)$ là hai lân cận tách $Z,W$ trong $Y$.

 

Bài 3. Chứng minh rằng không gian tô-pô $X$ là Hausdorff khi và chỉ khi ánh xạ đường chéo $\Delta \colon X \longrightarrow X \times X, x \longmapsto (x,x)$ là ánh xạ liên tục đóng.

 

Lời giải:

Giả sử $\Delta$ đóng, khi đó $Y = \left \{(x,y) \in X \times X \mid x \neq y \right \}$ là mở trong $X \times X$. Lấy $x \neq y$ trong $X$, khi đó $(x,y) \in Y$ và do $Y$ mở nên tồn tại $U,V \subset X$ mở sao cho $(x,y) \in U \times V \subset Y$ (do tích các tập mở là một cơ sở của tô-pô trên $X \times X$). Từ điều kiện $U \times V \subset Y$ ta thấy $U \cap V = \varnothing$ nên $U,V$ là hai lân cận tách $x,y$. Chiều ngược lại lập luận tương tự.

 

Bài tập dưới đây nâng cao hơn một chút, nhắc lại một số kiến thức: cho $\mathcal{C} \subset\mathcal{D}$ là một phạm trù con đầy đủ, ta gọi $\mathcal{C}$ là phản xạ (refletive) trong $\mathcal{D}$ nếu hàm tử nhúng $\mathcal{C} \longrightarrow \mathcal{D}$ nhận một liên hợp trái.

 

Bài 4. Chứng minh rằng phạm trù các không gian tô-pô Hausdorff là một phạm trù con phản xạ của phạm trù các không gian tô-pô.

 

Lời giải:

Nhắc lại định lý Frey: giả sử $\mathcal{C} \subset \mathcal{D}$ là một hàm tử bảo toàn các giới hạn với giả thiết $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ có tất cả các giới hạn, khi đó (dưới một số điều kiện tập hợp mà sẽ thoả mãn ở đây) nó nhận một liên hợp trái. Ta chọn $\mathcal{C} = \mathbf{CHaus}$ là phạm trù các không gian tô-pô Hausdorff, $\mathcal{D} = \mathbf{Top}$ là phạm trù các không gian tô-pô. Khi đó $\mathcal{D}$ có tất cả các giới hạn và theo bài tập 1 thì $\mathcal{C}$ cũng có tất cả giới hạn. Theo định lý Frey thì hàm sử nhúng $\mathbf{CHaus} \subset \mathbf{Top}$ nhận một liên hợp trái.

 

Gợi ý: sử dụng định lý liên hợp hàm tử của Frey và bài tập số 1).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 21-01-2024 - 02:25

[bangbang1412]

Phần tiếp theo là về các không gian compact.

 

Bài 5. Chứng minh các khẳng định sau:

• a) Không gian con đóng của không gian compact là compact.
• b) Ảnh của không gian compact qua một ánh xạ liên tục là compact.
• c) Không gian con compact của không gian Hausdorff là không gian con đóng.
• d) Hợp rời hữu hạn của các không gian compact là compact.

Bài 6. Cho $S$ là một không gian compact + Hausdorff và $R \subset S \times S$ là một quan hệ tương đương. Chứng minh rằng các khẳng say tương đương:

• $S/R$ với tô-pô thương là compact + Hausdorff.
• $R \subset S \times S$ là tập con đóng.
• Ánh xạ chiều $S \longrightarrow S/R$ là đóng.

Bài 7. Cho $S,T$ là các không gian compact + Hausdorff và $f \colon S \longrightarrow T$ là một ánh xạ liên tục. Chứng minh rằng các khẳng định sau tương đương:

• $f$ là một ánh xạ thương.
• $f$ là một cokernel (theo nghĩa phạm trù).
• $f$ là một epimorphism (theo nghĩa phạm trù).
• $f$ là toàn ánh.

Bài 8. Cho $f \colon S \longrightarrow T$ là một ánh xạ liên tục. Giả sử $S,T$ là các không gian compact, Hausdorff và $f$ toàn ánh. Chứng minh rằng tồn tại một tập con đóng $S' \subset S$ cực tiểu sao cho $f_{\mid S'} \colon S' \longrightarrow T$ là toàn ánh.

 

Gợi ý: sử dụng bổ đề Zorn.