Chủ đề này có 1 trả lời

[MPU]

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương đôi một phân biệt thoả mãn $a^2+d^2=b^2+c^2=P$. Chứng minh rằng: 
a. $P$ là hợp số.
b. $ab+cd$ và $ac+bd$ không thể đồng thời là số nguyên tố.

[nhungvienkimcuong]

Lời giải

Cho a, b, c, d là các số nguyên dương đôi một phân biệt thoả mãn $a^2+d^2=b^2+c^2=P$. Chứng minh rằng: 
a. $P$ là hợp số.
b. $ab+cd$ và $ac+bd$ không thể đồng thời là số nguyên tố.

Giả sử $a>b>c>d$.

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cả hai ý đều có cách xử lí tương tự nhau bằng cách để ý rằng

\[(ab+cd)(ac+bd)=ad(b^2+c^2)+bc(a^2+d^2)=(ad+bc)P.\]

Như vậy nếu $P$ là số nguyên tố (phản chứng ý a) hoặc cả $ab+cd,ac+bd$ đều là số nguyên tố (phản chứng ý b) thì ta đều suy ra được

\[P\le ab+cd\quad\text{hoặc}\quad P\le ac+bd.\]

Không mất tính tổng quát giả sử $P\le ab+cd$, mặt khác

\[P^2=(a^2+d^2)(b^2+c^2)\ge (ab+cd)^2.\]

Như vậy dấu bằng của bất đẳng thức trên xảy ra nên $\frac{a}{b}=\frac{d}{c}$, tuy nhiên điều này mâu thuẫn với $\frac{a}{b}>1>\frac{d}{c}$.

 

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ngoài ra ý a còn có một cách xử lí khác thông qua kết quả sau. 

Bổ đề

Với $A,B,C,D$ là các số nguyên dương thỏa mãn $AB=CD$, khi đó tồn tại các số nguyên dương $x,y,z,t$ sao cho

\[A=xy,\ B=zt\quad\text{và}\quad C=xz,\ D=yt.\]

Từ giả thiết có được $(a-b)(a+b)=(c-d)(c+d)$. Áp dụng Theorem suy ra tồn tại các số nguyên dương $x,y,z,t$ thỏa mãn

\[a-b=xy,\ a+b=zt\quad\text{và}\quad c-d=xz,\ c+d=yt.\]

Từ đây thu được $a=\frac{xy+zt}{2}$ và $d=\frac{yt-xz}{2}$, dẫn đến

\[P=\frac{(xy+zt)^2+(yt-xz)^2}{4}=\frac{(x^2+t^2)(y^2+z^2)}{4}.\]

Từ đẳng thức này dễ dàng chứng minh $P$ là hợp số.

 

 

Ghi chú. Có thể xử lí bài 6 IMO 2001 tương tự như trên.