Chủ đề này có 3 trả lời

[bocvacdem]

Bài 1. Cho các ma trận $M \in M_{4 \times 2}(\mathbb{R})$ và $N \in M_{2 \times 4}(\mathbb{R})$ thoả mãn
 
$$\mathrm{MN}=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1
\end{array}\right)$$
Tính $NM$.
 
Bài 2. Tính định thức của ma trận $A=\left(a_{i j}\right)$ có cấp $n \times n$ được định bởi
$$a_{i j}= \begin{cases}(-1)^{|i-j|}, & \text { nếu } i \neq j \\ 2, & \text { nếu } i=j .\end{cases}$$
Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương, xét hàm $f: \mathbb{Z} \rightarrow M_n(\mathbb{Z})$ định bởi
$$
f(x)=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & x \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{array}\right) \text {, với mọi } x \in \mathbb{Z} \text {. }
$$
Chứng minh rằng:
 
a. $(f(x))^n=x I_n$.
 
b. Nếu $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ là các số nguyên dương, đặt
$$
X=f\left((-1)^{n-1} p\right) ; Y=f\left((-1)^{n-1} q\right) \text { và } Z=f\left((-1)^{n-1}(p+q)\right)
$$
thì $\operatorname{det}(X), \operatorname{det}(Y), \operatorname{det}(Z)$ là các số nguyên dương và
$$
X^n+Y^n=Z^n
$$
Bài 4. Cho ma trận với hệ số thực $D$ có cấp $n \times n$ thoả tính chất $3 D^3=D^2+D+I_n$. Chứng minh rằng dãy ma trận $\left\{D^k\right\}_{k \in N}$ hội tụ về một ma trận luỹ đẳng. ( $\mathrm{X}$ được gọi là luỹ đẳng nếu $X^2=X$ ).
 
Bài 5. Cho $W$ là một không gian con của không gian vectơ $M_n(\mathbb{R})$ trên $\mathbb{R}$ thoả tính chất: với mọi $A, B \in W, \operatorname{trace}(A B)=0$. Chứng minh rằng: $\operatorname{dim} W \leq \frac{n(n-1)}{2}$.
(trace $(\mathrm{X})$ là tồng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận $\mathrm{X}$ ).
 
Bài 6. Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n>1$ với hệ số phức. Chứng minh rằng:
$$A \bar{A}=I_n \Leftrightarrow \exists B \in G L_n(\mathbb{C}) \text{ sao cho} A=B \bar{B}^{-1}$$
(Nếu $A=\left(a_{i j}\right)$ thì $\bar{A}=\left(\overline{a_{i j}}\right)$, trong đó $\overline{a_{i j}}$ là số phức liên hợp của $a_{i j} ; G L_n(\mathbb{C})$ là tập hợp cảc ma trận vuông khả nghịch với hệ số phức).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bocvacdem: 28-01-2024 - 23:06

[Konstante]

Bài đầu tiên có thể giải quyết bằng cách sử dụng định lý phổ mà hệ quả của nó là tự đẳng cấu tuyến tính với ma trận đối xứng sẽ luôn chéo hóa được (do tự đẳng cấu đó là tự liên hợp) và bổ đề về không gian hạch mà hệ quả của nó là nếu tự đẳng cấu chéo hóa được thì bậc đại số của nghiệm của đa thức đặc trưng chính là số chiều của không gian riêng ứng với nghiệm đó.

 

Ma trận $MN$ là đối xứng nên chéo hóa được, đa thức đặc trưng của nó là$$ \mathrm{det} \left(XI_4 - MN\right) = \begin{vmatrix}X+1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & X+1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & X+1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & X+1\end{vmatrix} = X^2\left(X+2\right)^2$$Do vậy $MN$ có giá trị riêng  $-2$ với bậc $2$, không gian riêng tương ứng với giá trị riêng này có số chiều là $2$. Gọi $\left(v_0,v_1\right)$ là một cơ sở của không gian riêng này, thế thì $\left(MN\right)v = -2v$ với mọi $v \in \mathrm{vect}\left(v_0,v_1\right)$. Mặt khác $$(NM)(Nv) =  N\left(\left(MN\right)v\right) = -2Nv$$kéo theo $(NM)u = -2u$ với mọi $u \in \mathrm{vect}\left(Nv_0,Nv_1\right)$. Vì  $v_0$ và $v_1$ là độc lập tuyến tính và $$\begin{align*}M(Nv_0) = (MN)v_0 = -2v_0 \\ M(Nv_1) = (MN)v_0 = -2v_1\end{align*}$$ nên $Nv_0$ và $Nv_1$ cũng phải độc lập tuyến tính, kéo theo $$\mathrm{vect}\left(Nv_0,Nv_1\right)= M_{2,1}\left(\mathbb{R}\right)$$Tóm lại $(NM)u = -2u$ với mọi $u \in M_{2,1}\left(\mathbb{R}\right)$, do vậy $$NM = -2I_2 = \begin{pmatrix}-2 & 0 \\ 0 & -2\end{pmatrix}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 29-01-2024 - 04:44

[vutuanhien]

Bài 1. Cho các ma trận $M \in M_{4 \times 2}(\mathbb{R})$ và $N \in M_{2 \times 4}(\mathbb{R})$ thoả mãn
 
$$\mathrm{MN}=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1
\end{array}\right)$$
Tính $NM$.
 
Bài 2. Tính định thức của ma trận $A=\left(a_{i j}\right)$ có cấp $n \times n$ được định bởi
$$a_{i j}= \begin{cases}(-1)^{|i-j|}, & \text { nếu } i \neq j \\ 2, & \text { nếu } i=j .\end{cases}$$
Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương, xét hàm $f: \mathbb{Z} \rightarrow M_n(\mathbb{Z})$ định bởi
$$
f(x)=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & x \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{array}\right) \text {, với mọi } x \in \mathbb{Z} \text {. }
$$
Chứng minh rằng:
 
a. $(f(x))^n=x I_n$.
 
b. Nếu $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ là các số nguyên dương, đặt
$$
X=f\left((-1)^{n-1} p\right) ; Y=f\left((-1)^{n-1} q\right) \text { và } Z=f\left((-1)^{n-1}(p+q)\right)
$$
thì $\operatorname{det}(X), \operatorname{det}(Y), \operatorname{det}(Z)$ là các số nguyên dương và
$$
X^n+Y^n=Z^n
$$
Bài 4. Cho ma trận với hệ số thực $D$ có cấp $n \times n$ thoả tính chất $3 D^3=D^2+D+I_n$. Chứng minh rằng dãy ma trận $\left\{D^k\right\}_{k \in N}$ hội tụ về một ma trận luỹ đẳng. ( $\mathrm{X}$ được gọi là luỹ đẳng nếu $X^2=X$ ).
 
Bài 5. Cho $W$ là một không gian con của không gian vectơ $M_n(\mathbb{R})$ trên $\mathbb{R}$ thoả tính chất: với mọi $A, B \in W, \operatorname{trace}(A B)=0$. Chứng minh rằng: $\operatorname{dim} W \leq \frac{n(n-1)}{2}$.
(trace $(\mathrm{X})$ là tồng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận $\mathrm{X}$ ).
 
Bài 6. Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n>1$ với hệ số phức. Chứng minh rằng:
$$A \bar{A}=I_n \Leftrightarrow \exists B \in G L_n(\mathbb{C}) \text{ sao cho} A=B \bar{B}^{-1}$$
(Nếu $A=\left(a_{i j}\right)$ thì $\bar{A}=\left(\overline{a_{i j}}\right)$, trong đó $\overline{a_{i j}}$ là số phức liên hợp của $a_{i j} ; G L_n(\mathbb{C})$ là tập hợp cảc ma trận vuông khả nghịch với hệ số phức).

Bài 3 là về ma trận đồng hành (companion matrix). Đa thức đặc trưng của $f(x)$ là $P(t)=t^{n}-x$ nên áp dụng định lý Cayley-Hamilton ta có ngay ý (a). Ý (b) chỉ là hệ quả của (a).

 

Bài 4 có thể chuyển hội tụ trên $\mathbb{R}$ sang $\mathbb{C}$ để dùng dạng chuẩn Jordan. Đa thức tối tiểu của $D$ là ước của $3t^{3}-t^{2}-t-1$, đa thức đằng sau có 3 nghiệm phân biệt nên $D$ chéo hóa được trên $\mathbb{C}$. Đặt $D=A.J.A^{-1}$, với

$$J=\text{diag}(1,\dots, 1, \lambda_{1},\dots, \lambda_{1}, \lambda_{2},\dots, \lambda_{2})$$

(có thể không có số 1 nào). Ta có $|\lambda_{1}|, |\lambda_{2}|<1$ nên $\lambda_{1}^{k}, \lambda_{2}^{k}\to 0$. Vì vậy

$$D^{k}=A.J^{k}.A\to X= A.\text{diag}(1,\dots, 1, 0,\dots, 0).A^{-1}$$

Dễ thấy $X^{2}=X$. Hơn nữa một dãy số thực nếu hội tụ thì phải hội tụ về một số thực, nên $X$ có hệ số trong $\mathbb{R}$.

 

Bài 5 có lẽ liên quan đến việc dạng song tuyến tính $(A, B)\mapsto \operatorname{trace}(AB)$ là không suy biến. Định lý Witt khẳng định mọi không gian $W$ cực đại với tính chất đề bài cho đều có số chiều như nhau. Nếu ta có thể xây dựng một không gian $W$ cực đại có số chiều $n(n-1)/2$ thì bài toán được giải quyết. Trực giác ở đây là $W$ gồm các ma trận tam giác trên có đường chéo bằng $0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 29-01-2024 - 16:43

[Konstante]

Bài cuối cùng có lẽ là thuần túy biến đổi, ta cần tìm $B$ sao cho $\overline{B}A = B$. Lấy $$B = A + I$$khi đó $\overline{B} = \overline{A} + I$, và $$\overline{B}A = \left(\overline{A} + I\right)A = \overline{A}A + A = I + A = B$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 30-01-2024 - 00:43