Chủ đề này có 6 trả lời

[BaoParis]

Xin chào mọi người,

Mình có 1 hàm số dạng $f(x) = \int_{0}^{+\infty}g(x,t)dt$. Mình cần tìm các điều kiện về hàm $g$ để cho hàm $f$ thuộc C1 (khả vi liên tục), nhưng không biết điều kiện đủ là gì. Mong các bạn có thể gợi ý cho mình 1 vài định lý liên quan. Xin cảm ơn.

 

[Konstante]

Bạn có thể xem các định lý về tích phân phụ thuộc tham số, nói chung là ta cần có các điều kiện sau đây

• hàm $t \mapsto g(x,t)$ là khả tích trên $\mathbb{R}_{+}$, tức là $\int\limits_{\mathbb{R}_{+}}\lvert g(x,t) \rvert \, dt < +\infty$,
• hàm $x \mapsto g(x,t)$ là khả vi trên $\mathbb{R}_{+}$ và đạo hàm của nó bị chặn bởi một hàm khả tích, tức là tồn tại hàm $h$ thỏa mãn $\int\limits_{\mathbb{R}_{+}} h(t) \, dt < +\infty$ và $\lvert \frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \rvert \leq h(t)$ trong một lân cận nào đó của $x$.

Khi đó $f'(x) = \int\limits_{\mathbb{R}_{+}} \frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \, dt $.

 

Đây đương nhiên là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần (tuy vậy có các ví dụ cho việc nếu một trong các điều kiện này không thỏa mãn thì $f$ sẽ không là khả vi với đạo hàm liên tục).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 31-01-2024 - 16:50

[BaoParis]

Bạn có thể xem các định lý về tích phân phụ thuộc tham số, nói chung là ta cần có các điều kiện sau đây

• hàm $t \mapsto g(x,t)$ là khả tích trên $\mathbb{R}_{+}$, tức là $\int\limits_{\mathbb{R}_{+}}\lvert g(x,t) \rvert \, dt < +\infty$,
• hàm $x \mapsto g(x,t)$ là khả vi trên $\mathbb{R}_{+}$ và đạo hàm của nó bị chặn bởi một hàm khả tích, tức là tồn tại hàm $h$ thỏa mãn $\int\limits_{\mathbb{R}_{+}} h(t) \, dt < +\infty$ và $\lvert \frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \rvert \leq h(t)$ trong một lân cận nào đó của $x$.

Khi đó $f'(x) = \int\limits_{\mathbb{R}_{+}} \frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \, dt $.

 

Đây đương nhiên là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần (tuy vậy có các ví dụ cho việc nếu một trong các điều kiện này không thỏa mãn thì $f$ sẽ không là khả vi với đạo hàm liên tục).

Cảm ơn bạn nhưng có vẻ cái bạn nói điều kiện đủ cho hàm khả vi thôi nhỉ. Tức là lấy được đạo hàm f’. Còn chưa chắc nó liên tục

[Konstante]

Đúng rồi bạn ạ, ta chỉ biết khả vi chứ chưa chắc đã liên tục (mình xin lỗi, lúc trả lời thậm chí mình còn quên $\mathcal{C}^1$ nghĩa là thế nào). Nhưng với dạng tích phân $$f'\left(x\right) = \int\limits_{\mathbb{R}_{+}} \frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \, dt$$ta có thể xác lập vài điều kiện đủ để nó là liên tục, ví dụ như sau.

 

Sử dụng định lý hội tụ bị chặn, ta biết rằng với mỗi điểm $x$, nếu tồn tại một hàm $g\left(t\right)$ khả tích trên $\mathbb{R}_{+}$ sao cho $$\lvert \frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \rvert \leq g(t)$$trong một lân cận nào đó của $x$, và đạo hàm riêng $\frac{\partial f}{\partial x} (x,t)$ liên tục tại $x$, thì với mọi dãy $\left(x_n\right)_{n \in \mathbb{N}} \xrightarrow{n \to \infty} x$, ta có $$\int\limits_{\mathbb{R}_{+}} \frac{\partial f}{\partial x} (x_n,t) \, dt \xrightarrow{n \to \infty} \int\limits_{\mathbb{R}_{+}} \frac{\partial f}{\partial x} (x,t) \, dt$$tức là $f'$ liên tục tại $x$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 01-02-2024 - 17:31

[BaoParis]

Mình thấy cái điều kiện của bạn về hàm $h$ trong câu trả lời đầu tiên với hàm $g$ trong câu trả lời sau là giống nhau. Nếu vậy chỉ cần tồn tại 1 hàm thôi nhỉ?

Tóm lại các điều kiện là:

- Hàm khả tích (để cho tích phân kia có nghĩa)

- Hàm khả vi và bị chặn bởi 1 hàm khả tích

- Đạo hàm riêng liên tục

[BaoParis]

Mình có 1 câu hỏi tương tự. Có 1 hàm số (chuỗi hàm) khác dạng

$$f(x) = \sum_{j = 0}^{+\infty} g_j(x)$$

Trong đó từng hàm $g_j$ là $C^1$. Mình cần tìm điều kiện để $f$ là $C^1$. Không biết có định lý nào không nhỉ? Và không biết có ví dụ nào trong đó từng hàm $g_j$ là $C^1$ nhưng $f$, mặc dù xác định, lại không phải $C^1$? Xin cảm ơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BaoParis: 08-02-2024 - 03:42

[Konstante]

Lời giải

Xét các hàm $g_j$ khả vi trên một compact $I$, đặt $S_n = \sum\limits_{j=0}^n g_j$ và $S'_n = \sum\limits_{j=0}^n g'_j$. Thì có một định lý nói rằng: nếu như $S'_n$ hội tụ đều trên $I$ và tồn tại $a \in I$ sao cho dãy $\left(S_n(a)\right)_{n\in \mathbb{N}}$ hội tụ, khi đó dãy $\left(S_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ sẽ hội tụ đều trên $I$ về một hàm (là $\sum\limits_{j=0}^{\infty} g_j$) khả vi trên $I$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 08-02-2024 - 20:18