Đến nội dung

Hình ảnh

Chúc mừng năm mới 2024


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết
Vậy là năm 2023 đã hết, chúng ta cùng chào đón năm 2024 nào! Nhân dịp năm mới, mến chúc anh/chị/em diễn đàn toán học VMF và gia đình nhiều sức khỏe, niềm vui và thành công trong cuộc sống. Chúc cho diễn đàn ngày càng phát triển.

659152fc7b3a6-new-year-wishes-313518160-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 09-02-2024 - 23:49

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2
minhhaiproh

minhhaiproh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết
Chúc diễn đàn ngày càng phát triển hơn nữa và chúc mọi người thành công, mạnh khỏe.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 10-02-2024 - 01:06

My mind is :wacko: .

.

#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3739 Bài viết
Đầu xuân năm mới Giáp Thìn 2024, xin được gửi lời chúc tới toàn thể anh chị em thành viên diễn đàn một năm mới an khang thịnh vượng, sức khoẻ dồi dào, làm ăn học hành tấn tới, vạn sự như ý, mọi sự hanh thông. Chúc diễn đàn ta ngày một phát triển vững mạnh!
Cũng nhân dịp năm mới mình xin được chia sẻ chút kinh nghiệm ít ỏi qua bài viết “Kỹ thuật tính toán với tổng phần nguyên”
Trong một số bài viết của mình, nếu các bạn để ý sẽ thấy xuất hiện các đẳng thức về tổng phần nguyên chẳng hạn như:
$\sum_{k=0}^n\left\lfloor\dfrac{k}{m}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\left(n+1-\dfrac m2-\dfrac m2\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\right)$
$\sum_{k=0}^n \left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor =\left\lfloor\dfrac{n^2}{4}\right\rfloor$
$\sum_{k=0}^n \left\lfloor\dfrac{k}{3}\right\rfloor =\left\lfloor\dfrac{n(n-1)}{6}\right\rfloor$
$\sum_{k=0}^n \left\lfloor\dfrac{k^2}{2}\right\rfloor =\left\lfloor\dfrac{n(n+2)(2n-1)}{12}\right\rfloor$
v.v…
Chứng minh mấy cái này bằng quy nạp theo modul thì không khó, nhưng có khi nào bạn thắc mắc vì sao lại tìm được công thức các tổng đó, không những vậy nhìn trông lại “gọn gàng” như vậy chưa? Có một số tổng dù muốn cũng không thể đưa kết quả “gọn” về duy nhất một biểu thức phần nguyên, chẳng hạn như:
$\sum_{k=0}^n \left\lfloor\dfrac{k}{8}\right\rfloor =\left\lfloor\dfrac{(n-3)^2}{16}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{n}{8}\right\rfloor -\left\lfloor\dfrac{n+1}{8}\right\rfloor$
Trả lời một cách cụ thể các câu hỏi trên chính là mục tiêu mà bài viết này mang lại. Hy vọng có được sự quan tâm cũng như đóng góp ý kiến từ các bạn!
Bắt đầu bài viết mình sẽ “nhắc lại” việc tính tổng
Ví dụ
\begin{equation}\label{eq1}
\sum_{k=0}^n\left\lfloor\dfrac{k}{m}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\left(n+1-\dfrac m2-\dfrac m2\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\right)
\end{equation}

Đặt $k=mp+q$ với $0\le q\le m-1$
Như vậy thì $0\le p\le \left\lfloor\dfrac{n-q}{m}\right\rfloor= \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor -1$
Với cách đặt đó thì $\max(k)=m\left(\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor-1\right)+m-1= m\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor -1$
vẫn còn thiếu đoạn $m\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\le k\le n $
Do đó vế trái của \eqref{eq1} sẽ được viết thành
\begin{align*}
&=\sum_{p=0}^{\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-1}\sum_{q=0}^{m-1} \left\lfloor\dfrac{mp+q}{m}\right\rfloor+\sum_{k=m \left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor}^n \left\lfloor\dfrac{k}{m}\right\rfloor \\
&=\sum_{p=0}^{\left\lfloor\frac{n}{m}\right\rfloor-1}mp+\left(n+1-m \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\right) \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor \\
&=\dfrac m2\left(\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor-1\right) \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor+ \left(n+1-m \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\right) \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor \\
&= \left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\left(n+1-\dfrac m2-\dfrac m2\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor\right)
\end{align*}
(đpcm)
Bây giờ để ý rằng nếu viết $n=m\left\lfloor\dfrac nm\right\rfloor+r\equiv r\!\!\pmod m$ thì $\left\lfloor\dfrac{n}{m}\right\rfloor =\dfrac{n-r}{m}$
Thay vào vế phải của \eqref{eq1} thì ta được:
\begin{equation}\label{eq2} \sum_{k=0}^n\left\lfloor\dfrac{k}{m}\right\rfloor =\dfrac{n^2-(m-2)n+(m-2)r-r^2}{2m}\end{equation}
\eqref{eq2} là yếu tố quyết định đến việc có thể thu gọn kết quả với chỉ một biểu thức phần nguyên hay không?
$\bullet\; m=2$
$\eqref{eq2}\Rightarrow \sum_{k=0}^n\left\lfloor\dfrac{k}{2}\right\rfloor=\dfrac{n^2-r^2}{4}= \dfrac{n^2+\{0,-1\}}{4}= \left\lfloor\dfrac{n^2}{4}\right\rfloor $

$\bullet\; m=3$
$\eqref{eq2}\Rightarrow \sum_{k=0}^n\left\lfloor\dfrac{k}{3}\right\rfloor=\dfrac{n^2-n+r-r^2}{6}$
$= \dfrac{n^2-n+\{0,1,2\}+\{0,-1,-4\}}{6}$
$= \dfrac{n^2-n+\{0,0,-2\}}{6} =\left\lfloor\dfrac{n(n-1)}6\right\rfloor$

Bài toán tiếp theo mình tiếp tục trình bày việc tính tổng:
Ví dụ
$$S=\sum_{k=0}^n \left\lfloor\dfrac{k^2}{4}\right\rfloor$$

Tương tự như trên ta đặt $k=4p+q$ với $0\le q\le 3$, ta được
$S=\sum_{p=0}^{\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor-1}\sum_{q=0}^3\left\lfloor\dfrac{16p^2+8pq+q^2}{4}\right\rfloor+\sum_{k=4\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor}^n \left\lfloor\dfrac{k^2}{4}\right\rfloor$
Ở chỗ này hơi khác một chút vì các số hạng ở tổng phía sau không hoàn toàn giống nhau. Nên nếu $n=4\left\lfloor \dfrac n4\right\rfloor+r;\;(0\le r\le 3)$ thì ta có thể viết lại như sau:
\begin{align*}S&=\sum_{p=0}^{\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor-1}(16p^2+12p+3) \\ &\;\;+\sum_{\left(k=4\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor+j\right);j=0}^r \left\lfloor\dfrac{16\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor^2+8\left\lfloor\frac{n}{4}\right\rfloor j+j^2}{4}\right\rfloor \\
&=\dfrac 13\left\lfloor \dfrac n4\right\rfloor\left(2\left\lfloor \dfrac n4\right\rfloor-1\right)\left(8\left\lfloor \dfrac n4\right\rfloor+1\right)\\
&\;\;+(4r+4)\left\lfloor \dfrac n4\right\rfloor^2+(r^2+r)\left\lfloor \dfrac n4\right\rfloor+\{0,0,1,3\}
\end{align*}
Bây giờ ta thay $\left\lfloor\dfrac n4\right\rfloor=\dfrac{n-r}{4}$ vào và rút gọn lại thì được:
$S=\dfrac{(2n^3+3n^2-2n)-(2r^3+3r^2-2r)}{24}+\{0,0,1,3\}$
Với $r=\{0,1,2,3\};\; r^2=\{0,1,4,9\};\;r^3=\{0,1,8,27\}$
sau khi rút gọn lại ta được:
\begin{align*}S&=\sum_{k=0}^n \left\lfloor\dfrac{k^2}{4}\right\rfloor=\dfrac{2n^3+3n^2-2n}{24}+\left\{0,-\dfrac 18,0,-\dfrac 18\right\}\\ &=\left\lfloor\dfrac{n(n+2)(2n-1)}{24}\right\rfloor
\end{align*}
Nhận xét: Về nguyên tắc khi ta thay $\left\lfloor \dfrac nm\right\rfloor$ bởi $\dfrac{n-r}{m}$ thì sẽ thu được đa thức dạng $P(n)-P(r)+c(r)$ điều kiện tiên quyết là kết quả của ta ngoại trừ $c(r)$ thì phần còn lại phải có thừa số $\left\lfloor \dfrac nm\right\rfloor$
Bài toán thứ ba chúng ta sẽ trở lại với tổng:
Ví dụ
$$S(8,n)=\sum_{k=0}^n \left\lfloor \dfrac k8\right\rfloor$$

Theo \eqref{eq2} ta có
$S(8,n)=\dfrac{n^2-6n+6r-r^2}{16}$
Ở đây $r=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$
nên $6r=\{0,6,12,18,24,30,36,42\}$
còn $r^2=\{0,1,4,9,16,25,36,49\}$
Thay vào thì ta sẽ được:
\begin{align*}S(8,n)&=\dfrac{n^2-6n+\{0,5,8,9,8,5,0,-7\}}{16} \end{align*}
Đến đây nếu ta lấy giá trị $c(r)=9$ (lớn nhất trong dãy) rồi lấy phần nguyên ta sẽ được 7 kết quả đúng và 1 kết quả sai (thừa 1 đơn vị) ứng với $r=7$.
Do vậy trường hợp này không thể quy về chỉ một biểu thức phần nguyên được! Để có được một công thức chung ta cần có:
$S(8,n)=\left\lfloor\dfrac{(n-3)^2}{16}\right\rfloor+\{0,0,0,0,0,0,0 -1\}$
Các bạn để ý rằng $r+1=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ nên
$-\left\lfloor\dfrac{r+1}{8}\right\rfloor=\{0,0,0,0,0,0,0,-1\}$
chính là thứ ta cần: mặt khác $r=n-8\left\lfloor\dfrac n8\right\rfloor$
Do đó $-\left\lfloor\dfrac{r+1}{8}\right\rfloor=\left\lfloor\dfrac{n}{8}\right\rfloor-\left\lfloor\dfrac{n+1}{8}\right\rfloor$
Vậy ta có:
$\sum_{k=0}^n \left\lfloor\dfrac{k}{8}\right\rfloor =\left\lfloor\dfrac{(n-3)^2}{16}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{n}{8}\right\rfloor -\left\lfloor\dfrac{n+1}{8}\right\rfloor$
——
Để tránh lan man sang các vấn đề khác, mình xin kết thúc bài viết tại đây! Về bài luyện tập các bạn hãy thử sức các tổng tương tự các ví dụ trên với những mẫu số khác nhau, hoặc tham gia xử lý series các bài toán ở đây
Thân!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 10-02-2024 - 06:32





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh