Đến nội dung

Hình ảnh

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
minhhaiproh

minhhaiproh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 125 Bài viết

Cho các số dương $a,b,c$.

Chứng minh rằng: $\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{3}{2}.\frac{a^3+b^3+c^3}{a^2+b^2+c^2}$


My mind is :wacko: .

.

#2
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 73 Bài viết

Ta có

  •  $\sum_{a,b,c}^{}\frac{2a^2}{b+c}-(a+b+c)=\sum_{a,b,c}^{}\frac{(b-c)^2(a+b+c)}{(a+b)(a+c)}$
  • $\frac{3(a^3+b^3+c^3)}{a^2+b^2+c^2}-(a+b+c)=\frac{(a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(a-c)^2(a+c)}{a^2+b^2+c^2}$

Ta chỉ cần chứng minh $\sum_{a,b,c}^{}\frac{(b-c)^2(a+b+c)}{(a+b)(a+c)} \ge \frac{(a-b)^2(a+b)+(b-c)^2(b+c)+(a-c)^2(a+c)}{a^2+b^2+c^2}$.

Ta chỉ cần chứng minh $\frac{(b-c)^2(a+b+c)}{(a+b)(a+c)} \ge \frac{(b-c)^2(b+c)}{c^2+a^2+b^2}$ nhưng $\frac{a+b+c}{(a+b)(a+c)} \ge \frac{a+b+c}{a^2+a^2+b^2+c^2}=\frac{b+c}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a(a^2+b^2+c^2-ab-ac)}{(a^2+b^2+c^2)(2a^2+b^2+c^2)} \ge \frac{b+c}{a^2+b^2+c^2}$



#3
habcy12345

habcy12345

    Binh nhất

  • Hái lộc VMF 2024
  • 23 Bài viết
$VT=\sum\frac{a^6}{a^4(b+c)}\geq\frac{(\sum a^3)^2}{\sum a^4(b+c)}$. Vậy nên chỉ cần cm $\frac{(\sum a^3)^2}{\sum a^4(b+c)}\geq\frac{3}{2}\frac{\sum a^3}{\sum a^2}\Leftrightarrow\sum (a-b)^4(a+b)\geq0$ (đúng).




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh