Đến nội dung

Hình ảnh

Bài 2 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

thi giải toán vmf 20 năm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 21 trả lời

#1
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3741 Bài viết
Topic này dùng để đăng tải đề thi lĩnh vực Số học của Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

Thời gian công bố đề: 12h00, ngày 12/02/2024 (Mùng 3 Tết)
Hạn cuối nộp bài: 11h59 ngày 13/02/2024 (Mùng 4 Tết)

Sau khi trọng tài hxthanh post đề, các thành viên THCS có thể đăng lời giải vào topic này. BQT sẽ cài đặt để các thành viên không nhìn thấy bài làm của nhau.

**Lưu ý: Thí sinh cần nhấn nút “Xem trước” bài viết của mình trước khi post, tránh những lỗi không đáng có (lỗi Latex, đánh máy, v.v…). Bởi vì BTC sẽ căn cứ bài viết đó là lời giải chính thức của bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 12-02-2024 - 10:10


#2
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3741 Bài viết
Giả sử $a; b$ là những số nguyên dương thỏa mãn: $ \dfrac{ ab(5a^2 + 5b^2 - 2)}{5ab -1}$ là số nguyên dương.
Chứng minh rằng $ a= b$.

#3
trantiennguyen

trantiennguyen

    Lính mới

  • Hái lộc VMF 2024
  • 4 Bài viết

427871810_1069124210965994_6629015450838427877887_368319759318919_68642902883318427866518_1069601054298814_8854091489458



#4
habcy12345

habcy12345

    Binh nhất

  • Hái lộc VMF 2024
  • 23 Bài viết
$\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}\in\mathbb{N^*}$
$\Rightarrow ab(5a^2+5b^2-2)\vdots 5ab-1$
$\Leftrightarrow 5(ab-1)(a^2+b^2)+5(a^2+b^2)-2ab\vdots 5ab-1$
$\Leftrightarrow 5(a^2+b^2)-2ab\vdots 5ab-1$
$\Leftrightarrow 25(a^2+b^2)-2-2(5ab-1)\vdots 5ab-1$
$\Leftrightarrow 25(a^2+b^2)-2\vdots 5ab-1$. Đặt $k=\frac{25(a^2+b^2)-2}{5ab-1}, k\in\mathbb{N^*}$
Suy ra $f(a)=25a^2-5bka+25b^2+k-2=0(1)$.
TH1: $a=b$, ta có đpcm.
TH2: $a\ne b$: Giả sử $a>b$, gọi $(a,b)$ là bộ số có $a$ nhỏ nhất thỏa mãn $k\in\mathbb{N^*}$
Khi đó theo định lí Viet thì phương trình $(1)$ còn một nghiệm $t=\frac{25b^2+k-2}{25a}>a\geq b$.
Nên $b$ nằm ngoài khảng hai nghiệm của $f(a)\Rightarrow f(b)>0$
$\Leftrightarrow 25b^2-25kb^2+25b^2+k-2>0$
$\Leftrightarrow k(1-25b^2)+2(25b^2-1)>0$
$\Leftrightarrow (2-k)(25b^2-1)>0\Leftrightarrow k<2$ (do $25b^2-1>0$) $\Leftrightarrow k=1$ (do $k\in\mathbb{N^*}$)
Do đó $1=\frac{25(a^2+b^2)-2}{5ab-1}\Leftrightarrow 25(a^2+b^2)-2=5ab-1\Leftrightarrow 25(a^2+b^2)=5ab+1$
Mặt khác theo bất đăng thức AM-GM thì $25(a^2+b^2)\geq 50ab>5ab+1$
Vậy $a=b$

#5
mathproo

mathproo

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết
$\displaystyle \frac{ ab(5a^2 + 5b^2 - 2)}{5ab -1}$  là số nguyên dương nên $ab(5a^2 + 5b^2 - 2)\vdots 5ab-1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2-2ab\vdots 5ab-1$
$\Leftrightarrow 5a^2+5b^2-2-2(5ab-1)\vdots 5ab-1$ hay $5a^2+5b^2-2\vdots 5ab-1$
Nên $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}=m (m\in\mathbb{N^*})\Rightarrow 5a^2-5bma+5b^2+m-2=0(1)$
Ta có đánh giá: $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}\geq\frac{10ab-2}{5ab-1}=2\Rightarrow m\geq 2$
Ta xem vế trái $(1)$ là phương trình bậc $2$ ẩn $a$. 
Nếu $a\ne b$, giả sử $a>b$ và gọi $(a_{0}, b_{0})$ là bộ số thỏa mãn $a$ nhỏ nhất sao cho $m\in\mathbb{N^*}, m\geq 2$
Khi nay theo hệ thức Viète phương trình còn một nghiệm $k$ khác thỏa $a_{0}k=\frac{5b_{0}^2+m-2}{5}\Rightarrow k=\frac{5b_{0}^2+m-2}{5a_{0}}>a_{0}>b_{0}$, nên $b$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm. Theo định lí về dấu tam thức bậc hai ta có $5b_{0}^2-5b_{0}mb_{0}+5b_{0}^2+m-2>0\Leftrightarrow (2-m)(5b_{0}^2-1)>0\Leftrightarrow m<2$ (loại)
Vậy $a=b$

#6
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 73 Bài viết
 
  • Nếu $a \neq b $
Từ giả thiết, suy ra $ab(5a^2+5b^2-2) \vdots 5ab-1$ mà $GCD(5ab-1;ab)=GCD(1;ab)=1$ nên $5a^2+5b^2-2 \vdots 5ab-1$.
Khi đó chú ý $a;b \in \mathbb{N^*}$, ta đặt $$5a^2+5b^2-2=(5ab-1)k (k \in \mathbb{N^*})$$.
Giả sử $k$ là một số thỏa mãn bài toán. Cố định $k$. 
Xét tập hợp $$S=\{ (a;b); a;b \in \mathbb{N^*}; k=\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} \}$$.
Theo nguyên lý cực hạn, tồn tại $(a_0;b_0) \in S$, sao cho $a_0+b_0$ đạt giá trị nhỏ nhất. 
Do vai trò của $a_0$ và $b_0$ là như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử $a_0 > b_0$. 
Khi đó $$k=\frac{5a_0^2+5b_0^2-2}{5a_0b_0-1} \implies 5a_0^2+5b_0^2-2=5a_0b_0k-k \implies 5a_0^2-a_0.5b_0k+(5b_0^2+k-2)=0$$
Ta xét phương trình ẩn $X$, tham số $b_0;k$: $~~5X^2-X.5b_0k+(5b_0^2+k-2)=0$, có 1 nghiệm là $a_0$.
Do phương trình này là phương trình bậc 2 nên phương trình ấy còn 1 nghiệm nữa, ta gọi là $a_1$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $(*)\begin{cases} a_1+a_0=b_0k \\ a_0a_1=\frac{5b_0^2+k-2}{5}\end{cases}$
Chú ý $a_0;b_0;k \in \mathbb{N^*}$, từ phương trình thứ nhất suy ra $a_1 \in \mathbb{Z}$; từ phương trình thứ hai suy ra $a_1 > 0$.
Do đó $a_1 \in \mathbb{N^*}$. 
Do vậy $(a_1;b_0) \in S$. Từ cách chọn $(a_0;b_0)$, suy ra $a_1+b_0 \ge a_0+b_0 \implies a_1 \ge a_0.$ 
 
Từ $(*)$, suy ra $\frac{5b_0^2+k+3}{5}-b_0k=(a_0-1)(a_1-1) \ge (a_0-1)^2 > (b_0-1)^2$.
Do đó $\frac{5b_0^2+k+3}{5}-b_0k > (b_0-1)^2 \implies 5b_0k-10b_0+2-k <0 \implies (5b_0-1)(k-2) < 0$.
Do đó $k <2 \implies k=1.$
Khi đó $$5a_0^2-a_0.5b_0+(5b_0^2-1)=0 \implies 5(a_0^2-a_0b_0+b_0^2)=1$$
Vô lý vì vế trái chia hết cho $5$, còn vế phải thì không. (loại)
  • Nếu $a=b$ thì ta có điều cần chứng minh.
Do đó $a=b$ (đpcm)


#7
bahieupbc

bahieupbc

    Lính mới

  • Hái lộc VMF 2024
  • 6 Bài viết
Lời giải:
Giả sử $a\neq b$
Vì $\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}\in \mathbb{Z^+}$ 
$ \Rightarrow 5ab-1| ab(5a^2+5b^2-2)$
Mà $(ab,5ab-1)=(5ab,5ab-1)=1$
$\Rightarrow 5ab-1|5(a-b)^2+2(5ab-1)
\Rightarrow 5ab-1|5(a-b)^2 $
Mà $(5,5ab-1)=1$
$\Rightarrow 5ab-1|(a-b)^2$
$\Rightarrow \frac{(a-b)^2}{5ab-1}=k\in \mathbb{Z^+}$
Ta có phương trình: $a^2-ab(5k+2)+b^2+k=0$
Gọi $(a_{0};b_{0})$ là $1$ cặp số thỏa mãn sao cho $a_{0}+b_{0}$ nhỏ nhất và do vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát giả sử $a_{0}>b_{0}$ 
Phương trình $T^2-Tb_{0}(5k+2)+b_{0}^2+k=0$ có một nghiệm hiển nhiên là $a_{0}$. Gọi nghiệm còn lại là $a_{1}$, theo định lý Viete ta có
(1)$$\left\{\begin{matrix}
a_{0}+a_{1}=b_{0}(5k+2) &  \\ a_{0}a_{1}=b_{0}^2+k
 &  
\end{matrix}\right.$$ 
$\Rightarrow a_{1}\in \mathbb{Z^+}$. Do đó $(a_{1},b_{0})$ là $1$ cặp số thỏa mãn
Theo cách xác định $(a_{0},b_{0})$ thì 
$$a_{1}+b_{0}\geq a_{0}+b_{0}\Leftrightarrow  a_{1}\geq a_{0}$$
Kết hợp với (1) thì ta có $$a_{0}=\frac{b_{0}^2+k}{a_{1}}\leq \frac{b_{0}^2+k}{a_{0}}\Leftrightarrow k\geq a_{0}^2-b_{0}^2$$
Do đó suy ra 
$$\frac{(a_{0}-b_{0})^2}{5a_{0}b_{0}-1}=k\geq a_{0}^2-b_{0}^2=(a_{0}-b_{0})(a_{0}+b_{0})$$
Mặt khác do $a_{0}>b_{0}$ nên $a_{0}-b_{0}\geq1$ và  $5a_{0}b_{0}-1>1$, vì vậy
$$a_{0}-b_{0}\geq (a_{0}+b_{0})(5a_{0}b_{0}-1)>a_{0}+b_{0}$$
Điều này là vô lý do $ b_{0}\in \mathbb{Z^+}$
Do đó điều giả sử là sai hay $a=b$


#8
qminhdls

qminhdls

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Giả sử $a; b$ là những số nguyên dương thỏa mãn: $ \dfrac{ ab(5a^2 + 5b^2 - 2)}{5ab -1}$ là số nguyên dương.
Chứng minh rằng $ a= b$.



#9
habcy12345

habcy12345

    Binh nhất

  • Hái lộc VMF 2024
  • 23 Bài viết
Hic, lời giải đầu của em k đúng, em xin làm lại vậy: Đặt $d=(ab, 5ab-1)\Rightarrow d=1$. Do $\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}$ là số nguyên dương nên $5a^2+5b^2-2\vdots 5ab-1$ Đặt $k=\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}, k\in\mathbb{N^*}$. Cố định $k$, xét các bộ $(a,b)$ thoả $k\in\mathbb{N^*}$, chọn $(a_0,b_0)$ thoả $a_0+b_0$ nhỏ nhất. Từ bđt Cauchy dễ thấy $k\geq 2$. Xét pt bậc 2 ẩn $t:$ $5t^2-5tb_0k+5b_0^2+k-2=0$, phương trình này ngoài nghiệm $a_0$ còn một nghiệm là $m$. Theo định lí Viet: $\begin{cases} a_0+m=b_0k\\ a_0m=\dfrac{5b_0^2+k-2}{5} \end{cases}$. Từ đây suy ra được $m$ nguyên.
Nếu $m < 0$ thì $5m^2-5mb_0k+5b_0^2+k-2>0$ (vô lí).
Nếu $m=0$ thì $5b_0^2+k-2=0$ nên $k\leq 2$. Mà $k\geq 2\Rightarrow k=2\Rightarrow a=b$.
Nếu $m>0$, ta có $(m,b_0)$ cũng là một bộ thỏa mãn. Mà theo cách chọn thì ta có $m+b_0\geq a_0+b_0\Leftrightarrow m\geq a_0$
$\Rightarrow\frac{5b_0^2+k-2}{5}\geq a_0^2\Leftrightarrow\frac{5b_0^2+\dfrac{5a_0^2+5b_0^2-2}{5a_0b_0-1}-2}{5}\geq a_0^2\Leftrightarrow\frac{5a_0^2+5b_0^2-2}{5a_0b_0-1}-2\geq 5(a_0^2-b_0^2)\Leftrightarrow\frac{5(a_0^2+b_0^2-2a_0b_0)}{5a_0b_0-1}\geq 5(a_0^2-b_0^2)\Leftrightarrow\frac{a_0-b_0}{5a_0b_0-1}\geq a_0+b_0$
Mà $\frac{a_0-b_0}{5a_0b_0-1}<\frac{a_0+b_0}{5a_0b_0-1}<a_0+b_0$, mâu thuẫn. Vậy $a=b$.

#10
qminhdls

qminhdls

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

423221411_1380476286006349_5007339780989423105527_438123738546597_29455864040023



#11
huytran08

huytran08

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 169 Bài viết

Lời giải:

​Do $\left ( ab,5ab-1 \right )=1$ nên $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} $ nguyên dương(do $\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}$ nguyên dương)

Đặt $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} =  k\,(k \in \mathbb{N^*})$

      $\Leftrightarrow 5a^2-5kab+5b^2+k-2=0$ (1)

Gọi $\left ( a_{0};b_{0} \right ) $ là 1 cặp nghiệm của (1) sao cho $a_{0}+b_{0}$ nhỏ nhất.

Ta có $5a_{0}^{2}-5ka_{0}b_{0}+5b_{0}^{2}+k-2=0$

Coi (1) là phương trình bậc 2 ẩn $a$.

Theo định lí Viète thì (1) còn 1 nghiệm nữa,gọi nghiệm đó là $a_{1}$.Ta có:$ \left\{\begin{matrix}a_{0}+a_{1}=kb_{0} & \\a_{0}a_{1}=\frac{5b_{0}^{2}+k-2}{5} & \end{matrix}\right.$

Suy ra $a_{1}\in \mathbb{N^*} $.

Mặt khác theo điều giả sử thì $a_{1}\geq a_{0}$.

Xét hàm số $f(x)=5x^{2}-5kxb_{0}+5b_{0}^2+k-2 $.Lập bảng biến thiên với chú ý rằng $b\notin (a_{0},a_{1}) $ ta được $f(b)\geq 0$ và $5b_{0}^{2}-5kb_{0}^{2}+5b_{0}^2+k-2\geq 0$ hay $k\leq2$  (2)

Lại có: $k=\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} \geq \frac{10ab-2}{5ab-1}=2$ (3)

Từ (2) và (3) suy ra $k=2$ hay $\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1} =2 \Rightarrow a=b $

Vậy $a=b$


Dreams without goal are just dreams. 

                                                                                                                                                                                                    (Denzel Washington)


#12
Duc3290

Duc3290

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 49 Bài viết

Vì $(ab,5ab-1)=1$ nên

$\frac{5a^2+5b^2-2}{5ab-1}\in \mathbb{Z} \rightarrow \frac{5(a-b)^2+2(5ab-1)}{5ab-1}\in \mathbb{Z} \rightarrow \frac{5(a-b)^2}{5ab-1}\in \mathbb{Z}$

Vì $(5,5ab-1)=1$ nên $\frac{(a-b)^2}{5ab-1}\in \mathbb{Z}$

Đặt $k=\frac{(a-b)^2}{5ab-1}$ với $k\in\mathbb{Z}$

Xét tập $S=\left \{ (a,b):a,b\in \mathbb{Z+} | k = \frac{(a-b)^2}{5ab-1} \in\mathbb{N} \right \}$

Vì bộ $(t,t)$ với $t \in \mathbb{Z+}$ luôn thuộc $S$ nên $S\not = \varnothing$

Giả sử $(a_0,b_0)$ là một cặp thuộc $S$ sao cho $a_0+b_0$ nhỏ nhất.

Xét $k > 0 \rightarrow a_0\not = b_0$, không mất tổng quát, giả sử $a_0 > b_0$

Xét phương trình ẩn $x$:

$$\frac{(x-b_0)^2}{5xb_0-1}=k \leftrightarrow x^2-xb_0(5k+2)+b_0^2+k=0 $$

Dễ thấy phương trình có một nghiệm là $a_0$ nên phương trình còn có một nghiệm $a_1$ thỏa mãn hệ thức Viete:

$$\begin{cases} a_0+a_1=b_0(5k+2) (1) \\ a_0a_1=b_0^2+k (2) \end{cases}$$

Từ $(1)$ ta có $a_1=b_0(5k+2)-a_0$ là số nguyên và từ $(2)$ ta có $a_1 = \frac{b_0^2+k}{a_0}$ là số dương

nên $a_1$ là số nguyên dương $\rightarrow$bộ $(a_1,b_0)$ thuộc $S$

Vì tính nhỏ nhất của tổng $a_0+b_0$ trong $S$ nên $a_1+b_0 \geq a_0+b_0 \leftrightarrow a_1 \geq a_0$

$\leftrightarrow  \frac{b_0^2+k}{a_0} \geq a_0 \leftrightarrow k \geq a_0^2-b_0^2\\ \leftrightarrow \frac{(a_0-b_0)^2}{5a_0b_0-1} \geq (a_0-b_0)(a_0+b_0) \leftrightarrow (a_0-b_0) \geq (5a_0b_0-1)(a_0+b_0)$

Bất đẳng thức trên vô lý với $a,b\in\mathbb{Z+}$ và $a > b$

Do đó ta phải có $k =0 $ hay $a=b$(dpcm).

 

 



#13
crowz19

crowz19

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

vừa thử bằng chatgpt nó giải được luôn, hahah



#14
crowz19

crowz19

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

vì a và b nguyên dương, nên ta chia cả tử và mẫu cho ab ta được$\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}=\frac{5a^2+5b^2-2}{5-\frac{1}{ab}}$

vì biểu thức nguyên dương lên $5-\frac{1}{ab}$ phải nguyên dương$= > ab=1=> a=b=1$

Thử lại biểu thức (thoả mãn)

Vậy a=b=1 là nghiệm duy nhất của bài toán
 



#15
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Hết giờ làm bài

Thí sinh được nhận xét bài làm của nhau nhưng không được chỉnh sửa. Thí sinh nào chỉnh sửa bài của mình sẽ bị loại
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#16
chumeomay

chumeomay

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

vì a và b nguyên dương, nên ta chia cả tử và mẫu cho ab ta được$\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}=\frac{5a^2+5b^2-2}{5-\frac{1}{ab}}$
vì biểu thức nguyên dương lên $5-\frac{1}{ab}$ phải nguyên dương$= > ab=1=> a=b=1$
Thử lại biểu thức (thoả mãn)
Vậy a=b=1 là nghiệm duy nhất của bài toán

a = b = 1 không phải nghiệm duy nhất của bài toán.

#17
Atomica

Atomica

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

vì a và b nguyên dương, nên ta chia cả tử và mẫu cho ab ta được$\frac{ab(5a^2+5b^2-2)}{5ab-1}=\frac{5a^2+5b^2-2}{5-\frac{1}{ab}}$

vì biểu thức nguyên dương lên $5-\frac{1}{ab}$ phải nguyên dương$= > ab=1=> a=b=1$

Thử lại biểu thức (thoả mãn)

Vậy a=b=1 là nghiệm duy nhất của bài toán

 

$5-\frac{a}{b}$ Không nhất thiết phải là nguyên dương bạn nhé



#18
bahieupbc

bahieupbc

    Lính mới

  • Hái lộc VMF 2024
  • 6 Bài viết

Bài gốc của bài này là P5 IMO 2007 ạ



#19
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1643 Bài viết

Đáp án chính thức:

Xét $ A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1} = \frac{ a^2 (5ab-1) +b^2 (5ab-1) + a^2 +b^2 - 2ab}{ 5ab-1} =  a^2 + b^2 + \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$

Do đó : $  A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1}$ là số nguyên dương khi và chỉ khi $\frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$ là số nguyên không âm $(*)$

 

Xét phương trình : $ \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1} =k$ với $k$ là  $1$ hằng  số nguyên không âm $(1)$

 

Do vai trò $a \ ; \ b$ là như nhau nên từ nay, không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét đến trường hợp $ a \geq b$

 

$ (1)$ tương đương với: $ a^2 - (5bk + 2b) a + b^2 +k =0$ $(2)$

 

Coi $(2)$ là phương trình bậc $2$ ẩn $a$, $b$ là tham số.

 

Theo giải thiết bài toán, thì do tồn tại cặp số $(a; b)$ thỏa $(2)$ nên theo nguyên lý cực hạn, ta có thể chọn ra bộ số $(a_0 ; b_0)$  thỏa $(2)$ sao cho tổng $ a_0 + b_0 $ đạt giá trị nhỏ nhất có thể. $(3)$

 

Theo định lý Viette thì ngoài nghiệm $a_0$, $(2)$ sẽ còn có nghiệm $a_1$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} a_1 = 5b_0 k +2b_0 -a_0 \\ a_1 = \frac{b_0^{2}+k}{a_0} \end{matrix}\right.$

 

Mà từ đây ta dễ thấy $a_1$ cũng phải là số nguyên dương.

Theo đó, dễ thấy  cặp số nguyên dương $(a_1; b_0)$ cũng thỏa $(2)$ và từ cách chọn ra bộ số $(a_0 ; b_0)$ thì hiển nhiên:

$ a_1 + b_0 \geq a_0 + b_0 $

$ \implies  a_1 \geq a_0  \implies  \frac{b_0^{2}+k}{a_0} \geq a_0  \implies  k \geq a^{2}_0 -  b^{2}_0$
 
$\implies  \frac{(a_0 -b_0)^2}{ 5a_0 b_0-1} \geq a^{2}_0 -  b^{2}_0$ $(4)$

Đến đây, ta thấy là không thể xảy ra trường hợp $a_0 > b_0$ vì nếu $  a_0 > b_0$ thì từ $(4)$ suy ra:

$  \frac{a_0 -b_0}{ 5a_0 b_0-1} \geq a_0 +  b_0 \implies a_0 -b_0 \geq (a_0 +  b_0) ( 5a_0 b_0-1)$

Điều này không thể xảy ra do $ (a_0 +  b_0) ( 5a_0 b_0-1) \geq 4 (a_0 +  b_0) > a_0 - b_0$

 

Do đó, chỉ có thể xảy ra trường hợp $a_0 = b_0$. Suy ra:  $k=0$.

Tức là $ k= \frac{(a-b)^2}{ 5ab-1}$ là số nguyên không âm khi và chỉ khi $ a=b$ $(**)$

 

Từ $ (*); (**)$, ta kết luận:

 

$  A = \frac{ 5ab(a^2 +b^2 - 2)}{ 5ab-1}$ là số nguyên dương khi và chỉ khi $a=b$ (đpcm)
 
 

Chấm điểm:

1. trantiennguyen: Bài làm ý tưởng chứng minh đúng, mạch lạc, ngắn gọn. Tuy nhiên chữ viết quá xấu, vừa mờ, vừa khó đọc, đạt $9$ điểm.
2. habcy12345: Bài giải đầu tiên nộp bị sai nên tất nhiên không xét đến bài giải bổ sung, đạt $0$ điểm

3. mathproo: Bài giải bị sai ngay đoạn $\Rightarrow k=\frac{5b_{0}^2+m-2}{5a_{0}}>a_{0}>b_{0}$, đạt $0$ điểm.
4. Nguyen Bao Khánh: Bài giải tốt, sạch, đẹp, đạt $ 10$ điểm
5: bahieupbc: Lời giải tốt, điểm trừ Latex sai dẫn đến vài đoạn giám khảo khó đọc, đạt $9.5$ điểm

6: qminhdls: Lời giải viết không tốt, lúc thì $H$, lúc thì $T$ lung tung lẫn lộn. Ngoài ra cũng không chỉ ra rằng vai trò của $A;B$ như nhau nên chỉ cần xét $ A \geq B$. 

Nếu không có giải thiết 
$ A \geq B$ thì bất đẳng thức : $ \frac{ (A-B)^2}{ 5AB -1} \geq A- B$ là đúng chứ không sai.
Đạt $4$ điểm

7 huytran08: Lời giải sai, $0$ điểm
8 duc3290: lời giải ý tưởng đúng tuy nhiên ký hiệu $ \rightarrow$ là sai, chỉ có ký hiệu $ \implies$ hoặc $ \Leftrightarrow$ mà thôi, $8$ điểm . Lỗi trình bày này quá cơ bản và không đáng mắc phải.

Các thành viên nhận giải : Nguyen Bao Khanh, Tran Tien Nguyen, baohieupbc vui lòng xác minh thông tin (thẻ học sinh, sổ liên lạc, giấy khai sinh...) với giảm khảo hxthanh để chứng minh bản thân là học sinh THCS để nhận giải.

Các bạn lưu ý:

Có $2$ cách trình bày:
 

cách $1$: chứng minh không thể xảy ra trường hợp $ a > b$ , cũng không thể xảy ra trường hợp $ a<b$ , sau đó kết luận $a =b$ (như trantiennguyen trình bày)

Cách $2$: nhận xét đầy đủ: " Vai trò của $a; b $ là như nhau nên không mất tính tổng quát, ta chỉ cần xét trường hợp: $ a \geq b$ " (như Nguyen Bao Khanh trình bày) , sau đó đi chứng minh không thể xảy ra $ a >b$ rồi kết luận chỉ có thể xảy ra trường hợp $a =b$.

Nếu không nêu rõ vai trò $a; b $ như nhau mà giả sử ngay $ a \geq b$ thì sẽ không được tối đa điểm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 14-02-2024 - 13:42

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)

#20
bahieupbc

bahieupbc

    Lính mới

  • Hái lộc VMF 2024
  • 6 Bài viết

Chấm điểm:


1. trantiennguyen: Bài làm ý tưởng chứng minh đúng, mạch lạc, ngắn gọn. Tuy nhiên chữ viết quá xấu, vừa mờ, vừa khó đọc, đạt $9$ điểm.
2. habcy12345: Bài giải đầu tiên nộp bị sai nên tất nhiên không xét đến bài giải bổ sung, đạt $0$ điểm

3. mathproo: Bài giải bị sai ngay đoạn $\Rightarrow k=\frac{5b_{0}^2+m-2}{5a_{0}}>a_{0}>b_{0}$, đạt $0$ điểm.
4. Nguyen Bao Khánh: Bài giải tốt, sạch, đẹp, đạt $ 10$ điểm
5: bahieupbc: Lời giải tốt, điểm trừ Latex sai dẫn đến vài đoạn giám khảo khó đọc, đạt $9.5$ điểm

6: qminhdls: Lời giải viết không tốt, lúc thì $H$, lúc thì $T$ lung tung lẫn lộn. Ngoài ra cũng không chỉ ra rằng vai trò của $A;B$ như nhau nên chỉ cần xét $ A \geq B$. 

Nếu không có giải thiết 
$ A \geq B$ thì bất đẳng thức : $ \frac{ (A-B)^2}{ 5AB -1} \geq A- B$ là đúng chứ không sai.
Đạt $4$ điểm

7 huytran08: Lời giải sai, $0$ điểm
8 duc3290: lời giải đúng tuy nhiên ký hiệu $ rightarrow$ là sai, chỉ có ký hiệu $ implies$ hoặc $ \Leftrightarrow$ mà thôi, 8 điểm . Lỗi trình bày này quá cơ bản và không đáng mắc phải.
 

Dạ cho em hỏi là em có nhắn với admin hxthanh thì anh ấy bảo là "Yên tâm nhé bạn, lỗi đó btc đọc được và không bị trừ điểm". Mong các admin xem xét lại ạ. Em cảm ơn ạ







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: thi giải toán, vmf 20 năm

4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh