Đến nội dung

Hình ảnh

Bài 3 - Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

vmf 20 năm

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 10 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3858 Bài viết
Topic này dùng để đăng tải đề thi lĩnh vực Hình học của Cuộc thi giải toán "Mừng xuân Giáp Thìn, mừng VMF tròn 20 tuổi"

Thời gian công bố đề: 12h00, ngày 13/02/2024 (Mùng 4 Tết)
Hạn cuối nộp bài: 11h59 ngày 14/02/2024 (Mùng 5 Tết)

Sau khi trọng tài perfectstrong post đề, các thành viên THCS có thể đăng lời giải vào topic này. BQT sẽ cài đặt để các thành viên không nhìn thấy bài làm của nhau.

**Lưu ý: Thí sinh cần nhấn nút “Xem trước” bài viết của mình trước khi post, tránh những lỗi không đáng có (lỗi Latex, đánh máy, v.v…). Bởi vì BTC sẽ căn cứ bài viết đó là lời giải chính thức của bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-02-2024 - 10:36

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết
Đề bài

Tết đến xuân về, không ít các bạn trẻ yêu thích món nước ngọt Coca Cola nổi tiếng. Nhưng bạn có biết rằng một lon nước Coca Cola kinh điển cao ốm có đường kính 5,5 cm và chiều cao 14,5 cm?

1. Vậy bạn hãy trổ tài tính thử xem một thùng giấy hình hộp chữ nhật để đựng 24 lon nước này (1 lớp, 4 hàng, mỗi hàng 6 lon) sẽ cần bao nhiêu \(m^2\) giấy ? (Không kể phần giấy rìa để dán mép)
2. Liệu có cách sắp xếp lon nào để tiết kiệm giấy hơn \(1\%\) không ?
3. Nếu ban đầu có $\textbf{48}$ lon nước thì kết quả tốt nhất của bạn là bao nhiêu ?
1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3741 Bài viết
Do sự cố gặp phải trước giờ công bố đề thi BĐT nên BTC phải tạm hoãn đến hôm sau. Để cuộc thi không bị gián đoạn thì phần thi Hình Học được đẩy lên sớm hơn.
BTC rất tiếc vì sự cố này. Thành thật cáo lỗi cùng các bạn! Để bù vào đó thời gian làm bài sẽ được tính đến 23:59 ngày 14/02/2024.

Tính đến thời điểm 22:12 13/02/2024, BTC vẫn chưa nhận được bất kỳ lời giải nào cho bài toán này! Các bạn hãy nhanh tay post lời giải để có cơ hội nhận quà nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 13-02-2024 - 22:13


#4
Nguyen Bao Khanh

Nguyen Bao Khanh

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 73 Bài viết

1. Để thùng giấy ấy có thể đựng được $24$ lon nước đó sao cho chỉ có $1$ lớp được xếp thì chiều cao của thùng giấy ấy phải bằng chiều cao của $1$ lon nước hay chiều cao của thùng giấy đó là $14,5$ $cm$.

Hình vẽ dưới cho thấy mặt trên của thùng giấy sau khi xếp 24 lon Coca-cola vào thùng như giả thiết .

Khi đó chiều dài của thùng giấy đó phải bằng $6$ lần độ dài đường kính của $1$ lon nước Coca-cola hay chiều dài của thùng giấy đó là $6.5,5=33$ ($cm$).

Chiều rộng của thùng giấy đó phải bằng $4$ lần độ dài đường kính của $1$ lon nước Coca-cola hay

chiều rộng của thùng giấy đó là $4.5,5=22$ ($cm$).

Do đó số $m^2$ giấy ta cần bằng diện tích toàn phần của thùng giấy đó là: $(22+33).2.14,5+2.22.33 =3047$ ($cm^2$) $=0,3047$ ($m^2$).

Spoiler

421981456_402159725724958_87383513705026



#5
bahieupbc

bahieupbc

    Lính mới

  • Hái lộc VMF 2024
  • 6 Bài viết

Lời giải:

1.

Mặt đáy của mỗi lon Coca Cola có đường kính là $5,5$ cm nên nội tiếp hình vuông cạnh $5,5$ cm.

Vì có $24$ lon nước được đựng trong $1$ thùng giấy hình hộp chữ nhật ( $1$ lớp, $4$ hàng, mỗi hàng $6$ lon ) nên chiều rộng, chiều dài của hình hộp chữ nhật lần lượt là $22$ cm, $33$ cm.

Chiều cao của mỗi lon Coca Cola là $14,5$ cm.

Do đó số $m^2$ giấy cần có để đựng $24$ lon này trong một thùng giấy hình hộp chữ nhật chính là diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật: $S_{tp}=S_{xq}+2.S_{đáy}=(22+33).2.14,5+2.22.33=3047 cm^2=0,3047 m^2$.

Vậy một thùng giấy hình hộp chữ nhật để đựng $24$ lon nước này ($1$ lớp, $4$ hàng, mỗi hàng $6$ lon) sẽ cần $0,3047 m^2$.



#6
trantiennguyen

trantiennguyen

    Lính mới

  • Hái lộc VMF 2024
  • 4 Bài viết

427882941_374217745470357_69388886886014427908568_912856387004876_21973005611182427983335_710643467909862_57418316654132426836702_749428543516694_63194769920259



#7
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3741 Bài viết
Đã hết giờ làm bài, các thí sinh có thể nhận xét bài làm của nhau, tuyệt đối không chỉnh sửa bài làm của mình.

#8
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4967 Bài viết

Đáp án:

Lời giải câu 1
Ta có kích thước của thùng nước ngọt (hình hộp chữ nhật) như sau:

File gửi kèm  xep lon 1.png   9.38K   0 Số lần tải

  • Chiều dài: \(5,5 \times 6 = 33 (cm)\)
  • Chiều rộng: \(5,5 \times 4 = 22 (cm)\)
  • Chiều cao: \(14,5 (cm)\)

Vậy diện tích toàn phần (tổng diện tích giấy) là:
\begin{equation*}
    2 \times (33 \times 22 + 33 \times 14,5 + 22 \times 14,5) = 3047 (cm^2) = 0,3047 (m^2)
\end{equation*}

 

Lời giải câu 2
Nếu để ý rằng ta có thể xếp các hàng "so le" với nhau, tức là lon nước hàng dưới sẽ nằm giữa hai lon kề nó ở hàng trên, thì ta có thể giảm chiều rộng tổng thể. Vậy ta hãy thử xếp cách sau: 1 lớp, mỗi lớp 4 hàng, mỗi hàng gồm 6 lon sắp so le so với hàng trên.

File gửi kèm  xep lon 2.1.png   19.47K   0 Số lần tải

Hình b là hình nhìn từ trên xuống. Chú ý rằng mỗi tam giác dựng từ các tâm hình tròn liền kề sẽ là tam giác đều với cạnh là đường kính lon. Do đó, các thông số của hình hộp là: chiều dài 33,75 cm, chiều rộng \(\left(1+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)5,5 \) cm, và chiều cao 29 cm. Diện tích toàn phần là \({\bf 3025,59} \, cm^2\), tương ứng với \(0,302559 \, m^2\), giúp tiết kiệm được \(0,70\%\) diện tích giấy phải dùng.

Phương án trên vẫn chưa đạt đủ con số \(1\%\) cần có nên ta sẽ tìm cách khác. Ta sắp các lon thành 2 lớp, mỗi lớp gồm 3 hàng, mỗi hàng gồm 4 lon.

File gửi kèm  xep lon 2.2.png   8.07K   0 Số lần tải

Diện tích toàn phần là \({\bf 2959} \,cm^2\), tương ứng với \(0,2959 \, m^2\). Phương án này giúp tiết kiệm được \(2,88\%\) diện tích giấy phải dùng: thỏa mãn đề.
Lời giải câu 3
Để thuận tiện tính toán, ta ký hiệu \(\#\) là đơn vị số lon sắp theo mỗi chiều. Dưới đây ta liệt kê một số phương án xếp lon. Chú ý rằng vì số lon ở chiều dài và rộng là tương đương nhau, nên ta chỉ cần quan tâm những cách xếp có chiều dài bằng hơn lớn hơn chiều rộng.
\begin{gather*}
    \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c}
    \text{STT} & \text{Dài} (\#) & \text{Dài} (cm) & \text{Rộng} (\#) & \text{Rộng}(cm) & \text{Cao}(\#) & \text{Cao}(cm) & \text{S} (cm^2) \\
    \hline 1 & 48 & 264 & 1 & 5,5 & 1 & 14,5 & 10719,50 \\
    \hline 2 & 24 & 132 & 2 & 11 & 1 & 14,5 & 7051,00 \\
    \hline 3 & 12 & 66 & 4 & 22 & 1 & 14,5 & 5456,00 \\
    \hline 4 & 12 & 66 & 2 & 11 & 2 & 29 & 5918,00 \\
    \hline 5 & 8 & 44 & 6 & 33 & 1 & 14,5 & 5137,00 \\
    \hline 6 & 8 & 44 & 6 & 33 & 1 & 14,5 & 5137,00 \\
    \hline 7 & 7 & 38,5 & 7 & 38,5 & 1 & 14,5 & 5197,50 \\
    \hline 8 & 6 & 33 & 4 & 22 & 2 & 29 & 4642,00 \\
    \hline 9 & 5 & 27,5 & 5 & 27,5 & 2 & 29 & 4702,50 \\
    \hline 10 & 4 & 22 & 4 & 22 & 3 & 43,5 & 4796,00 \\
    \hline 11 & 4 & 22 & 3 & 16,5 & 4 & 58 & 5192,00 \\
    \hline 12 & 6,5 & 35,75 & 3,59 & 19,78 & 2 & 29 & {\bf 4636,23}
    \end{array}
\end{gather*}

Vì \(48=2 \times 24\) nên ta có thể suy nghĩ dựa trên kết quả từ hai câu trước. Điều thú vị là nếu ta xếp chồng gấp đôi phương án tốt hơn ở câu 2 để thu được phương án số 11, thì kết quả lại tệ hơn là sử dụng cách xếp cổ điển (số 8). Thậm chí, nếu ta chấp nhận xếp "thiếu" như phương án số 9, ta lại tiết kiệm được giấy hơn.

Trong trường hợp này, phương án tốt nhất mà ta hiện có, số 12, lại phát triển từ cách sắp thứ nhất ở câu 2: 2 lớp, mỗi lớp gồm 4 hàng, mỗi hàng gồm 6 lon sắp so le so với hàng trên.

File gửi kèm  xep lon 3.3.png   11.63K   0 Số lần tải

Khi đó, các thông số trở thành: chiều dài 33,75 cm, chiều rộng \(\left(1+\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)5,5 \) cm, và chiều cao 29 cm. Diện tích toàn phần là \( {\bf 4636,23} \, cm^2\), tương ứng với \(0,463623 \, m^2\). Cách này tốt chỉ tốt hơn cách cổ điển \(0,12\%\).
Phụ chú câu 3
Dưới đây là một số suy nghĩ khi tiếp cận bài toán.

Ta sẽ tìm cách sắp xếp "hình hộp" tối ưu. Ta gọi một cách sắp lon là "hình hộp" khi các lon xếp thành từng lớp đặt khớp nhau theo chiều cao của lon; trong mỗi lớp các lon xếp theo hàng và cột sao cho không có cột hay hàng nào thiếu.

Gọi \(N\) là tổng số lon nước cần phải sắp xếp.

Gọi \(d, h\) lần lượt là đường kính và chiều cao lon nước.

Gọi \(a, b, c\) lần lượt là số lon được sắp theo chiều dài, rộng và cao. Khi đó, theo định nghĩa của cách sắp "hình hộp", ta có:
\begin{equation}
    N = a \times b \times c
\end{equation}

Kích thước hình hộp và diện tích toàn phần:
\begin{align*}
  A &= ad \hfill \\
  B &= bd \hfill \\
  C &= ch \hfill \\
  S &= 2\left( {AB + BC + AC} \right)
\end{align*}

Áp dụng BĐT Cauchy 3 số, ta có:
\begin{align}
    S \ge 6{\left( {ABC} \right)^{2/3}} = 6{\left( {N{d^2}h} \right)^{2/3}}
\end{align}

Dấu = xảy ra khi \( A = B = C \Leftrightarrow c = \sqrt[3]{{\frac{{N{d^2}}}{{{h^2}}}}} \) và \(a = b = \sqrt[3]{{\frac{{Nh}}{d}}}\). Tuy nhiên chú ý rằng \(a,b,c \in \mathbb N\) nên \(c \approx \sqrt[3]{{\frac{{N{d^2}}}{{{h^2}}}}} \) và \(a \approx b \approx \sqrt[3]{{\frac{{Nh}}{d}}}\).

 

File PDF: File gửi kèm  VMF_Khai_xuân_2024___Hình_học.pdf   225.27K   17 Số lần tải


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#9
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4967 Bài viết

Chấm điểm bài làm:

1. Nguyen Bao Khanh: . Bạn đọc đề chưa kỹ. Bài báo mà bạn tìm ra nói về mật độ thể tích, trong khi đề chỉ yêu cầu diện tích toàn phần của hình hộp bao ngoài. Và đề cũng không yêu cầu bạn phải chứng minh giá trị cực tiểu.

2. bahieupbc: .

3. trantiennguyen: . Mặc dù bạn giải đúng nhưng BGK gặp khó khăn để đọc bài làm của bạn. Bạn không tải ảnh trực tiếp lên diễn đàn mà lại dùng link ngoài. Chất lượng chụp ảnh không đủ tốt khiến một số ký tự quan trọng bị mờ.


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#10
perfectstrong

perfectstrong

    $LOVE(x)|_{x =\alpha}^\Omega=+\infty$

  • Quản lý Toán Ứng dụng
  • 4967 Bài viết

Một chút tản mạn về nguồn gốc bài toán: mình lấy cảm hứng từ đề thi CASIO THCS toàn quốc năm 2011

https://diendantoanh...5-đến-năm-2014/

 

Bài 10. ( 5 đim ) Mt qubóng rtheo tiêu chun quc tế có dng hình cu vi bán kính $R = 12,09 (cm)$ (như hình bên). Người ta mun to ra các túi dng hình hp đứng có np bng bìa ( cng và nhn ) để đựng được 12 qubóng rnói trên. Nếu chưa tính cn có các mép dán thì din tích bìa ít nht để to mi túi như thế là bao nhiêu $cm^2$? Trình bày tóm tt cách gii vào phn dưới đây.

File gửi kèm  2024-02-16_15h00_33.png   69.17K   0 Số lần tải

 

Đáp án trong file chỉ xét cách xếp "hình hộp" mà không tính tới trường hợp xếp xen kẽ. Bạn nào thử nghĩ xem nếu xếp xen kẽ thì có thể cải thiện đáp án không? :)


Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!! :D
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.

#11
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3858 Bài viết
DANH SÁCH THÍ SINH THẮNG GIẢI
 
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{No.}&\text{Member} & \text{Scores} &\text{Time post} & \text{SubSolution}\\ \hline 1&  \text{trantiennguyen}&7&140224-23:44&0\\ \hline \end{array}$$
 
Do chất lượng bài làm chưa được đảm bảo nên chỉ có 1 thí sinh đạt giải KK. Hai thí sinh còn lại chưa đạt điểm TB nên sẽ không có giải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 16-02-2024 - 21:14

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: vmf 20 năm

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh