Chủ đề này có 2 trả lời

[Huyen027557]

Định lí: " Nếu f đơn xạ thì Kerf = 0 (ngược lại không đúng)". Mọi người có thể cho mình xin ví dụ của vế trong ngoặc được không ạ?

[nmlinh16]

Khi đặt câu hỏi cụ thể như vậy thì bạn cần có ngữ cảnh. Giả thiết, kết luận của bài toán là gì? Và nếu có các khái niệm mà bạn nghĩ là lạ thì bạn phải định nghĩa ra. Điều đó sẽ tiết kiệm được thời gian quý giá của người trả lời và của chính bạn.

 

Tôi giả thiết rằng câu hỏi của bạn là ở trong một phạm trù tùy ý có vật $0$ và có đủ cấu xạ $0$ (một cấu xạ: $0: X \to Y$ được gọi là một cấu xạ $0$ nếu

• $0 \circ f = 0 \circ f'$ với mọi cấu xạ $f,f': X' \to X$; và
• $g \circ 0 = g' \circ 0$ với mọi cấu xạ $g,g': Y \to Y'$).

Hạt nhân của một cấu xạ $f: X \to Y$ là equalizer của $f$ và $0$, nghĩa là một cặp $(K,i)$, với $K$ là một vật và $i: K \to X$ là một cấu xạ, sao cho

• $f \circ i = 0$; và
• với mọi vật $K'$ và mọi cấu xạ $i': K' \to X$ sao cho $f \circ i' = 0$, tồn tại duy nhất cấu xạ $j: K' \to K$ thỏa mãn $i \circ j = i'$.

 

Tôi sẽ lấy phản ví dụ cho khẳng định "nếu hạt nhân của $f$ bằng $0$ thì $f$ là đơn cấu" trong phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$ các tập hợp định điểm (pointed set), nghĩa là

• một vật của $\mathbf{Set}_\ast$ là một cặp $(X,x)$, với $X$ là một tập hợp và $x \in X$ (nói riêng, $X \neq \varnothing$); và
• một cấu xạ $(X,x) \to (Y,y)$ trong $\mathbf{Set}_\ast$ là một ánh xạ $f: X \to Y$ thỏa mãn $f(x) = y$.

 

Nhận xét 1. $\{\ast\}$ (tập hợp có một phần tử duy nhất) là vật $0$ của phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$.

Thật vậy, với mọi tập hợp định điểm $(X,x)$, cấu xạ duy nhất $\{\ast\} \to (X,x)$ trong $\mathbf{Set}_\ast$ là $\ast \mapsto x$. Vậy $\{\ast\}$ là vật đầu của $\mathbf{Set}_\ast$. Ngược lại, hiển nhiên có duy nhất một cấu xạ $(X,x) \to \{\ast\}$ trong $\mathbf{Set}_\ast$, đó là ánh xạ cho bởi $a \mapsto \ast$ với mọi $a \in X$.

 

Nhận xét 2. Với mọi vật $(X,x)$ và $(Y,y)$ của $\mathbf{Set}_\ast$, ánh xạ $\mathbf{0}: X \to Y$ cho bởi $a \mapsto y$ với mọi $a \in X$, là một cấu xạ $0$.

Thật vậy, với mọi cấu xạ $f: (X',x') \to (X,x)$, hợp thành $\mathbf{0} \circ f$ là ánh xạ cho bởi $a' \mapsto y$ với mọi $a' \in X'$.

Tương tự, với mọi cấu xạ $g: (Y,y) \to (Y',y')$, hợp thành $g \circ \mathbf{0}$ là ánh xạ cho bởi $a \mapsto y'$ với mọi $a \in X$, vì ta có $g(y) = y'$.

 

Nhận xét 3. Với mọi cấu xạ $f: (X, x) \to (Y,y)$, đặt $K:=f^{-1}(y)$ và ký hiệu bởi $i: K \hookrightarrow X$ phép bao hàm. Khi đó vật $(K,x)$ cùng với cấu xạ $i$ chính là hạt nhân của cấu xạ $f$.

Thật vậy, dễ thấy $x \in K$ và $i$ là một cấu xạ trong phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$. Ngoài ra, từ định nghĩa của $K$, ta có $f(i(a)) = y$ với mọi $a \in K$, hay $f \circ i = \mathbf{0}: (K,x) \to (Y,y)$.

Giả sử $i': (K', x') \to (X,x)$ là một cấu xạ sao cho $f \circ i' = \mathbf{0}: (K',x') \to (Y,y)$, nghĩa là $f(i'(a')) = y$ với mọi $a' \in K'$. Từ định nghĩa của $K$, ta có $i'(a') \in K$ với mọi $a' \in K'$. Dễ thấy ánh xạ $j: K' \to K$ cho bởi $j(a') = i'(a')$ là cấu xạ duy nhất $(K',x') \to (K,x)$ thỏa mãn $i \circ j = i'$. Vậy $((K,x),i)$ là hạt nhân của cấu xạ $f$.

 

 

Bây giờ ta lấy $X = \{0,1,2\}$, $Y = \{0,1\}$ và xét các tập hợp định điểm $(X,0)$ cũng như $(Y,0)$.

 

Xét cấu xạ $f: (X,0) \to (Y,0)$ cho bởi $f(0) = 0$ và $f(1) = f(2) = 1$. Ta thấy hạt nhân của $f$ là $\{0\}$, tức là vật $0$ của phạm trù $\mathbf{Set}_\ast$.

Tuy nhiên $f$ không phải đơn cấu. Thật vậy, xét các cấu xạ $g,h: (Y,0) \to (X,0)$ lần lượt cho bởi $g(0) = 0$, $g(1) = 1$ và $h(0) = 0$, $h(1) = 2$. Ta có $g \neq h$ nhưng $f \circ g = f \circ h = \text{id}_Y$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 17-02-2024 - 04:10

[Huyen027557]

Xin lỗi về thiếu xót của mình. Bài viết rất hữu ích với mình, cảm ơn rất nhiều ạ.