Chủ đề này có 1 trả lời

[nhutduy27]

Giải hệ phương trình:$\left\{\begin{matrix} x^5y^5\left ( 1+\sqrt{y} \right )=\left ( \sqrt{x}+1 \right )\sqrt{y}\\ \sqrt[5]{15+2y}.\sqrt{3x-2}=\left ( 8x-12\right )\sqrt[5]{y} \end{matrix}\right.$ $\left ( x,y\in \mathbb{R} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhutduy27: 19-02-2024 - 16:56

[nhancccp]

Giải hệ phương trình $\begin{cases}
x^5y^5(1+\sqrt{y})=\sqrt{y}(\sqrt{x}+1) \\
\sqrt[5]{15+2y}.\sqrt{3x-2}=\left ( 8x-12\right )\sqrt[5]{y}
\end{cases} (x;y \in \mathbb{R})$

ĐK:$x \geq \dfrac{2}{3};y>0$

Phương trình thứ nhất tương đương với $(x^5y^5-\sqrt{xy})+\sqrt{y}(x^5y^5-1)=0$
$\Leftrightarrow \sqrt{y}(xy-1)(x^4y^4+x^3y^3+x^2y^2+xy+1)+\sqrt{xy}(\sqrt{xy}-1)(xy+\sqrt{xy}+1)(x^3y^3+\sqrt{x^3y^3}+1)=0$

$\Leftrightarrow (\sqrt{xy}-1)[\sqrt{y}(\sqrt{xy}+1)(x^4y^4+x^3y^3+x^2y^2+xy+1)+\sqrt{xy}(xy+\sqrt{xy}+1)(x^3y^3+\sqrt{x^3y^3}+1)]=0$$\Leftrightarrow y=\frac{1}{x}$ (vì ....>0)

Thay $y=\frac{1}{x}$ vào phương trình thứ hai ta được 
$\sqrt{3x-2}\sqrt[5]{\frac{2}{x}+15}=(8x-12)\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$$\Rightarrow (3x-2)^5(15x+2)^2=(8x-12)^{10}$$\Leftrightarrow 1073741824 x^{10} - 16106127360 x^9 + 108716359680 x^8 - 434865493395 x^7 + 1141521944310 x^6 - 2054739393324 x^5 + 2568424097880 x^4 $$- 2201506298640 x^3 + 1238347280160 x^2 - 412782427200 x+61917364352=0$$\Leftrightarrow (x-2)(1073741824x^9-13958643712x^8+80799072256x^7-273267348883x^6+594987246544x^5-864764900236x^4+838894297408x^3$$-523717703824x^2+190911872512x-30958682176)=0$

....Ta được $x=2\Rightarrow y=\frac{1}{2}$

 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là $\boxed{(x;y)=\big(2;\frac{1}{2}\big)}$