Chủ đề này có 1 trả lời

[Thegooobs]

Mở đầu ta xem xét định lí sau:

Định lý

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)\cdot v(x)$

Qua định lí này ta thấy rằng dễ dàng tìm vô cùng bé tương đương cho một tích bằng thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số nhưng đối với tổng hoặc hiệu thì điều này trở nên "nguy hiểm". Ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ

Ta biết $\tan x \stackrel {x \to 0}{\sim} x$ và $x \stackrel{x \to 0}{\sim} x$ nhưng $\tan x - x \stackrel{x \to 0}{\not\sim} x- x =0$ nhưng trên thực tế $\tan x -x \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{x^3}{3}$

Ví dụ

Ta có thể chứng minh được rằng $ x \stackrel{x \to 0}{\sim} \sin x$ và $\sin x \stackrel{x \to 0}{\sim} \arctan x$ và phép thế $x - \sin x \stackrel{x \to 0}{\sim} \sin x - \arctan x$

là đúng 

Qua đây ta thấy thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số trong một hiệu rất "nguy hiểm" có thể đúng hoặc cũng có thể sai. Vậy khi nào có thể thay tương đương cho hiệu hoặc tổng hai vô cùng bé ? Ở đây mình sẽ trình bày những gì mình biết để cho các bạn có thể có đa dạng cách tiếp cận khi thế tương đương cho tổng hoặc hiệu hai vô cùng bé.

Cách tiếp cận I

Cho $f,g$ là 2 vô cùng bé khi $x \to a$ và $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x)$, $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} g_1(x)$

Xét giới hạn

$$\ell = \lim_{ x \to a}\dfrac{f(x)-g(x)}{f_1(x)-g_1(x)}=\lim_{x \to a}\left(\dfrac{\dfrac{f(x)}{g_(x)}-1}{\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}-1} \cdot \dfrac{g(x)}{g_1(x)}\right)=\lim_{x \to a}\dfrac{{\dfrac{f(x)}{g(x)}-1}}{{\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}-1}}$$

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{=}o(g(x))$ thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=0$ dẫn đến $\ell =1$ do vậy

$$f(x) - g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x) -g_1(x)$$

Tương tự khi $g(x)\stackrel{x \to a}{=}o(f(x))$ 

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{=}O(g(x))$ (nhưng không tương đương) thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=A \ne 1$ dẫn đến $\ell=\dfrac{A-1}{A-1}=1$ do vậy

$$f(x)-g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} f_1(x)-g_1(x)$$

Nếu $f(x)\stackrel{x \to a}{\sim} g(x)$  thì $\lim_{x \to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\dfrac{f_1(x)}{g_1(x)}=1$ dẫn đến giới hạn $\ell$ là một dạng vô định $\dfrac{0}{0}$ khi đó $\ell$ có thể hữu hạn hoặc vô cùng hoặc không tồn tại nên chưa chắc

$$f(x)-g(x) \stackrel{x\to a}{\sim } f_1(x)-g_1(x)$$

Tương tự khi $f(x)$ không so sánh được với $g(x)$ hoặc $g(x)$ không so sánh được với $f(x)$ thì giới hạn $\ell$ có thể là hữu hạn, vô cùng hoặc không tồn tại và kết luận giống khi $f \sim g$

Kết luận: 

$1$.Ta có thể thế tương đương cho từng hàm số trong 1 hiệu hai vô cùng bé khi chúng không rơi vào trường hợp tương đương hay không so sánh được.

$2$. Khi chúng tương đương hay không so sánh được thì việc thế chưa chắc đã đúng

Khi xét cho tổng hai vô cùng bé ta có thể chuyển về hiệu 2 vô cùng bé $f(x)+g(x)=f(x)-\left(-g(x)\right)$

hoặc nếu ta không muốn xét $f$ và $-g$ thì có thể tiếp cận như trên các kết luận đều tương tự nhưng khác ở kết luận $2$ một chút ở chỗ khi $f \sim -g$ thì việc thế tương đương chưa chắc đúng chứ không phải là khi $f \sim g$

Cách tiếp cận II

Có một định lí để tìm vô cùng bé cho một tổng khá hay

Trong định lí ta dùng hàm $\text{signum}$ (hàm dấu) được định nghĩa như sau:

$$\text{sign}(x)=\begin{cases} \ 1 ,  \ x>0 \\ \ 0, \ x=0 \\ -1, x<0 \end{cases}$$

Định lý

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$, $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ và $\text{sign}\left(u(x)\right)=\text{sign}\left(v(x)\right)$ trong 1 lân cận thủng $(a-\delta,a+\delta) \setminus \{a\}$ thì $f(x)+g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)+v(x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Thegooobs: 01-03-2024 - 11:41

[perfectstrong]

Mở đầu ta xem xét định lí sau:

Định lý

Nếu $f(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)$ và $g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} v(x)$ thì $f(x)\cdot g(x) \stackrel{x \to a}{\sim} u(x)\cdot v(x)$

Qua định lí này ta thấy rằng dễ dàng tìm vô cùng bé tương đương cho một tích bằng thế vô cùng bé tương đương cho từng hàm số nhưng đối với tổng hoặc hiệu thì điều này trở nên "nguy hiểm". Ta xét ví dụ sau đây

Ví dụ

Ta biết $\tan x \stackrel{x \to 0}{\sim}$ và $x \stackrel{x \to 0}{\sim} x$ nhưng $\tan x - x \stackrel{x \to 0}{\not\sim} x- x =0$ nhưng trên thực tế $\tan x -x \stackrel{x \to 0}{\sim} \dfrac{x^3}{3}$

Hàm $f(x)=0$ vẫn thỏa mãn điều kiện trong lân cận quanh $x=0$, và $\lim_{x \to 0} \frac{x^3}{3} = 0$ thì đâu khác gì $\lim_{x \to 0} f$ ?

Mình lại nghĩ ví dụ này đúng, chỉ là tùy tình huống mà sẽ có lợi hay không.