Chủ đề này có 3 trả lời

[habcy12345]

Một bài cũ nhưng khá hay:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}$$

[Duc3290]

Một bài cũ nhưng khá hay:
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $ab+bc+ca=6$. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}$$

Ta chứng minh 

$$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1} \geq 1$$

$$\Leftrightarrow \frac{a^2}{a^2+1}+\frac{b^2}{b^2+1}+\frac{c^2}{c^2+1}\leq 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{6a^2}{6a^2+ab+bc+ca}+\frac{6b^2}{6b^2+ab+bc+ca}+\frac{6c^2}{6c^2+ab+bc+ca}\leq 2$$

$$\Leftrightarrow \frac{a^2}{6a^2+ab+bc+ca}+\frac{b^2}{6b^2+ab+bc+ca}+\frac{c^2}{6c^2+ab+bc+ca}\leq \frac{1}{3}$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\frac{a^2}{6a^2+ab+bc+ca} = \frac{a^2}{3a^2+(2a^2+bc)+a(a+b+c)}\leq \frac{1}{9} \left ( \frac{a^2}{3a^2}+\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{a^2}{a(a+b+c)}  \right ) = \frac{1}{9}\left ( \frac{1}{3}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{a^2}{2a^2+bc} \right )$$

Chứng minh tương tự và cộng lại, ta chỉ cần chứng minh:

$$\frac{a^2}{2a^2+bc}+\frac{b^2}{2b^2+ca}+\frac{c^2}{2c^2+ab}\leq 1$$

$$\Leftrightarrow \frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}+\frac{ab}{2c^2+ab}\geq 1$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

$$\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}+\frac{ab}{2c^2+ab} = \frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{c^2a^2}{2b^2ca+c^2a^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c)}=1$$

Vậy GTNN là 1. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=\sqrt{2}$

[Duc3290]

Không mất tổng quát giả sử $a\geq b \geq c \Rightarrow ab \geq 2$

Áp dụng bất đẳng thức $\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}\geq \frac{2}{ab+1}$ với $ab\geq 1$.

Ta chứng minh 

$$\frac{2}{ab+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq 1$$

$$\Leftrightarrow c^2+2\geq abc^2$$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: $6=ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2} \Rightarrow 2\sqrt{2}\geq abc$

Nên ta có $c^2+2\geq 2c\sqrt{2}\geq abc^2 \Rightarrow dpcm$

[habcy12345]

Lời giải chuẩn rồi ạ. Hướng khác:
Đặt $p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r=abc$, ta cần chứng minh
$$\frac{1}{a^2+1}+\frac{1}{b^2+1}+\frac{1}{c^2+1}\geq1\Leftrightarrow\frac{2p^2-2pr+15}{p^2-2pr+r^2+25}\geq1\Leftrightarrow p^2\geq r^2+10$$
Bất đẳng thức trên hiển nhiên đúng do $p^2\geq 3q=18, r^2+10\leq\frac{q^3}{27}+10=18$.