Chủ đề này có 6 trả lời

[phomacsudoi]

Mình xin đăng 3 bài này trước,về sau sẽ đăng tiếp (nguồn:sưu tầm)

1)Giải phương trình $(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}=27x^3+3x$

2)Giải phương trình $x^3+3x^2+4x+2=(3x+2)\sqrt{3x+1}$

3)Giải phương trình $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$ (Olympic 30/4 năm 2012 tại Vũng Tàu)

[nhancccp]

1)ĐK:$x \in \mathbb{R}$

Phương trình đã cho tương đương với $(3x)^3+3x=(3x^2+4x+5)\sqrt{3x^2+4x+5}+\sqrt{3x^2+4x+5}$

Xét hàm $f(t)=t^3+t$ có $f'(t)=3t^2+1>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến

Lại có $f(3x)=f(\sqrt{3x^2+4x+5})\Rightarrow 3x=\sqrt{3x^2+4x+5}\Rightarrow 6x^2-4x-5=0$

Giải phương trình bậc hai và đối chiếu và thử lại ta thấy $x=\frac{2+\sqrt{54}}{6}$ là nghiệm duy nhất của phương trình

Ngoài ra ta có thể sử dụng phương pháp bình phương (và các pp khác ...)

Ta có $27x^3+3x=(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}$$\Rightarrow (27x^3+3x)^2=(3x^2+4x+6)^2(3x^2+4x+5)$$\Leftrightarrow 702 x^6 - 108 x^5 - 135 x^4 - 472 x^3 - 551 x^2 - 384 x - 180 = 0$$\Leftrightarrow (6 x^2 - 4 x - 5) (117 x^4 + 60 x^3 + 115 x^2 + 48 x + 36) = 0$....

[MHN]

Câu 2)

ĐK:$x\geq \frac{-1}{3}$
$x^3+3x^2+4x+2=(3x+2)\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow x^3+3x^2+3x+1+x+1=(3x+1+1)\sqrt{3x+1}$
$\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=(3x+1)\sqrt{3x+1}+\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow (x+1)^3+(x+1)=\sqrt{(3x+1)^3}+\sqrt{3x+1}$
Đặt:$x+1=a;\sqrt{3x+1}=b$ $(b\geq 0)$
$PT\Leftrightarrow a^3+a=b^3+b\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)-(a-b)=0\Leftrightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2-1)=0$
$\Rightarrow \left ( x+1-\sqrt{3x+1} \right )\left [ x^2+2x+1+(x+1)\sqrt{3x+1}+3x+1-1 \right ]=0$
$\Leftrightarrow \left ( x+1-\sqrt{3x+1} \right )\left [ x^2+5x+1+(x+1)\sqrt{3x+1} \right ]=0$
$\Rightarrow x+1=\sqrt{3x+1}\Leftrightarrow x^2+2x+1=3x+1\Leftrightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} x=0(tm)\\x=1(tm) \\ \end{matrix} \right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 14-03-2024 - 16:29

[MHN]

Câu 3)
$7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}\Leftrightarrow 7x^2-10x+14=5\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$
$\Leftrightarrow 6(x^2-2x+2)+(x^2+2x+2)=5\sqrt{(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)}$
Đặt:$\sqrt{x^2-2x+2}=a;\sqrt{x^2+2x+2}=b$
$\Rightarrow 6a^2+b^2=5ab\Leftrightarrow 6a^2-5ab+b^2=0\Leftrightarrow (2a-b)(3a-b)=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} 2a=b\\3a=b \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left[ \begin{matrix}2\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{x^2+2x+2} \\ \\3\sqrt{x^2-2x+2}=\sqrt{x^2+2x+2} \end{matrix} \right.$
Rồi xét các trường hợp.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 14-03-2024 - 16:55

[nhancccp]

Bài 3 ngoài cách đặt ẩn phụ của cao thủ minhhaiproh ta có thể sử dụng phương pháp bình phương 

ĐK:$x \in \mathbb{R}$

Ta có $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$$\Rightarrow (7x^2-10x+14)^2=25(x^4+4)$$\Leftrightarrow 6x^4-35x^3+74x^2-70x+24=0\Leftrightarrow (2x^2-5x-4)(3x^2-10x-6)=0\Leftrightarrow x=\frac{5\pm\sqrt{7}}{3}$

Và em xin góp vui một bài :Giải phương trình $(x-2)(x^2+x+3)=2\sqrt[3]{4x^2+12x+9}+\sqrt[3]{2x+3}$

[phomacsudoi]

Bài 4:Giải phương trình $(x^3-3x+1)\sqrt{x^2-1}+x^4-3x^2+x+1=0$

Mình nghĩ là sử dụng hàm đặc trưng nhưng nghĩ chưa ra

[MHN]

Bài 4:
ĐK:...
$(x^3-3x+1)\sqrt{x^2-1}+x^4-3x^2+x+1=0\Leftrightarrow -(x^3-3x+1)\sqrt{x^2-1}-x^4+3x^2-x-1=0$
$\Leftrightarrow (x^2-1)-(x^3-3x+1)\sqrt{x^2-1}-(x^4-2x^2+x)=0$
Đặt:$\sqrt{x^2-1}=a\geq 0$
$PT\Rightarrow a^2-(x^3-3x+1)a-(x^4-2x^2+x)=0$
Xem $PT$ trên là $PT$ bậc $2$ ẩn $a$:
$\Delta =(x^3-3x+1)^2+4(x^4-2x^2+x)=x^6+9x^2+1-6x-6x^4+2x^3+4x^4-8x^2+4x$
$=x^6-2x^4+2x^3+x^2-2x+1=(x^3-x+1)^2$
$\Rightarrow a_{1}=x^3-2x+1;a_{2}=-x$
...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhaiproh: 17-03-2024 - 15:07