Chủ đề này có 3 trả lời

[habcy12345]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ca}+\frac{1}{3}\geq\frac{8}{9}\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right).$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi habcy12345: 17-03-2024 - 12:24

[Duc3290]

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương

$$9\sum a^2 + 3 \sum ab \geq 8 \sum \frac{a(ab+bc+ca)}{b+c} $$

$$\Leftrightarrow 9\sum a^2+3\sum ab \geq 8 \sum \frac{a^2(b+c)+abc}{b+c}$$

$$\Leftrightarrow 9 \sum a^2 +3\sum ab \geq 8\sum  (a^2+\frac{abc}{b+c})$$

$$\Leftrightarrow 9 \sum a^2 +3\sum ab \geq 8\sum a^2 +8abc\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right )$$

$$\Leftrightarrow \sum a^2 +3\sum ab \geq 8abc\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right ) $$

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

$$\sum \frac{1}{a+b}\leq \sum \frac{1}{4}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) = \frac{1}{2}\sum \frac{1}{a}$$

$$\Rightarrow 8abc\left ( \sum \frac{1}{a+b} \right ) \leq 4 \sum ab$$

Mà ta có $ab+bc+ca \leq a^2+b^2+c^2$ nên suy ra điều phải chứng minh

[hovutenha]

Bất đẳng thức tương đương:

$$\sum (b-c)^2 \left (\dfrac{9a^2+ab+bc+ca}{9(ab+bc+ca)(a+b)(a+c)} \right ) \geq 0$$

 

[habcy12345]

Bài này mình dùng pqr và quy đồng tất, thu được bất đẳng thức cuối khá gọn: $(pq-9r)(p^2+q)\geq 0$, hiển nhiên theo AM-GM.