Đến nội dung

Hình ảnh

Về định nghĩa của điểm hữu tỷ

hình học đại số

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
nmd27082001

nmd27082001

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Hiện tại em đang đọc về định nghĩa của điểm hữu tỷ trên đa tạp đại số theo ngôn ngữ cổ điển trong cuốn [1] T.A. Springer, Linear Algebraic Groups và [2] J.E. Humphreys, Linear Algebraic Groups. Ở đây em thấy có hai cách định nghĩa về $F$-điểm và $F$-cấu trúc. Theo đó, cho $k$ là một trường đóng đại số và $F$ là một trường con của $k$.

 

I. Định nghĩa theo [2]

Trong Chương 12 của [2], tác giả định nghĩa một tập đóng $X\subset \mathbb{A}^n$ là xác định trên $F$ nếu $\mathcal{I}(X)$ sinh bởi các đa thức có hệ số trên $F$. Khi đó [2] định nghĩa các $F$-điểm của $X$ bởi

\[X(F)=X\cap F^n.\]

Hơn nữa, theo phần đầu của mục 1.3.7 trong [1] thì ta định nghĩa

\[F[X]=F[T_1,\ldots,T_n]/\mathcal{I}(X)\cap F[T_1,\ldots,T_n].\]

Theo em, flow này tự nhiên vì nó phù hợp với mong muốn khảo sát các nghiệm trên $F$ của một hệ phương trình đa thức với hệ số trên $F$.

 

II. Định nghĩa theo [1]

Tuy nhiên, phần sau của mục 1.3.7 lại nói: "But this notion of field of definition is not intrinsic, as it depends on a particular choice of generators of $k[X]$".

 

Dựa trên phần I, ta có đẳng cấu tự nhiên $k\otimes_F F[X]\to k[X]$, do đó [1] định nghĩa một $F$-cấu trúc của $k[X]$ bởi một $F$-đại số con hữu hạn sinh của $k[X]$ sao cho đồng cấu 

\[k\otimes_F F[X]\to k[X],\lambda\otimes f\mapsto \lambda f\]

là đẳng cấu. Từ đây [1] định nghĩa

\[X(F):=\{\text{F-đồng cấu } F[X]\to F\}.\]

 

Dẫu biết rằng đây là cách định nghĩa theo ngôn ngữ hiện đại, em có một số băn khoăn như sau:

1, $F$-cấu trúc của $k[X]$ nếu tồn tại thì chưa chắc duy nhất. Ví dụ như Bài tập 1.3.9 trong [1] với $k=\mathbb{C}, F=\mathbb{R}$ và $k[X]=\mathbb{C}[T_1,T_2]/\left<T_1^2+T_2^2-1\right>$, khi đó gọi $a,b$ là ảnh của $T_1, T_2$ trong $\mathbb{C}[X]$ thì $\mathbb{C}[X]$ có hai $\mathbb{R}$-cấu trúc khác nhau là $\mathbb{R}[a,b]$ và $\mathbb{R}[ia,ib]$. Điều này mâu thuẫn với trực giác của em vì theo em các nghiệm trên $F$ của một hệ phương trình đa thức với hệ số trên $F$ thì duy nhất nên em nghĩ $F$-cấu trúc này cũng nên duy nhất.

 

2, Chính từ điều 1, nên em thấy định nghĩa $X(F)$ cũng không duy nhất và phụ thuộc vào $F$-cấu trúc mà ta chọn (Ví dụ em lấy ở trên là một trường hợp khi $\{\mathbb{R}[a,b]\to \mathbb{R}\}$ là đường tròn trong khi $\{\mathbb{R}[ia,ib]\to \mathbb{R}\}=\varnothing$.

 

3, Tuy nhiên nếu ta định nghĩa theo mục I thì ta sẽ có một tương ứng 1-1 giữa các tập

\[\{ F-\text{đồng cấu } F[X]\to F\}\leftrightarrow X(F)=X\cap F^n.\]

 

Do đó em muốn nhờ các cao nhân chỉ giáo tại sao người ta lại muốn định nghĩa như mục II ạ. Tính không duy nhất mà em nêu ra có thực sự là vấn đề không ạ.



#2
nmlinh16

nmlinh16

    Trung sĩ

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 169 Bài viết

Vấn đề này mình đã từng trình bày ở một bài nói về Galois descent. Về cơ bản đây là câu chuyện $F$-form của một $k$-đa tạp, và $F$-form thì nói chung không duy nhất.

 

Về câu hỏi 1: Trực giác của bạn gặp vấn đề ở chỗ "đa tạp affine = tập nghiệm của một hệ phương trình đa thức". Thực ra phát biểu như vậy chưa đủ chính xác trong hường hợp này. Chính xác thì "đa tạp affine = lớp đẳng cấu của tập nghiệm của hệ phương trình đa thức", nghĩa là hai hệ phương trình cùng định nghĩa một đa tạp affine nếu ta có một phép đổi biến từ hệ này sang hệ kia và ngược lại. Chẳng hạn, hệ phương trình rỗng trên 1 biến thì định nghĩa đường thẳng affine (vành tọa độ là $k[T]$), còn hệ gồm 1 phương trình $T_2 = T_1^2$ thì định nghĩa đường parabol phẳng (vành tọa độ là $k[T_1,T_2]/(T_2 - T_1^2)$). Về mặt đa tạp thì hai hệ phương trình này cùng định nghĩa một đa tạp (phép đổi biến là $T \mapsto (T,T^2)$ và $(t_1,t_2) \mapsto t_1$ (với $t_1,t_2$ lần lượt là ảnh của $T_1$ và $T_2$ trong $k[T_1,T_2]/(T_2 - T_1^2)$.

Vấn đề khi chuyển từ $k$ xuống $F$ nằm ở đây: ta có thể dùng một phép đổi biến với hệ số trong $k$ để đưa một hệ về một hệ khác (nghĩa là hai đa tạp đẳng cấu trên $k$), nhưng không nhất thiết là ta có thể chọn phép đổi biến với hệ số trong $F$ (nghĩa là hai đa tạp có thể không đẳng cấu trên $F$).

 

Để đơn giản, ta sẽ xét trường hợp $k/F$ là mở rộng Galois, chẳng hạn $F = \mathbb{R}$ và $k = \mathbb{C}$ như bạn đã xét ở trên. Ta gọi $X$ và $Y$ lần lượt là các đa tạp con của $\mathbb{A}^2$ (với tọa độ $T_1,T_2$) được định nghĩa bởi các phương trình $T_1^2 + T_2^2 - 1 = 0$ và$T_1^2 + T_2^2 + 1 = 0$. Khi đó ta có đẳng cấu $X \cong Y$ cho bởi phép đổi biến $(T_1,T_2) \mapsto (iT_1,iT_2)$ với hệ số trong $\mathbb{C}$. Từ đó ta có sonh ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$. Nhưng đẳng cấu này không định nghĩa trên $\mathbb{R}$. Các tập hợp $X(\mathbb{R})$ và $Y(\mathbb{R})$ không tương ứng với nhau qua song ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$. Lí do: tác động Galois khác nhau! Song ánh $X(\mathbb{C}) \cong Y(\mathbb{C})$ không tương thích với tác động của $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ trên các đa tạp $X$ và $Y$.

 

Nếu trình bày theo ngôn ngữ Galois descent thì cho một đa tạp affine trên $\mathbb{R}$ chính là cho một đa tạp affine trên $\mathbb{C}$ được trang bị một involution (ứng với tác động của phép liên hợp, i.e. phần tử không tầm thường của nhóm $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$). Nói cách khác là cho một $\mathbb{C}$-đại số hữu hạn sinh được trang bị một tác động của $\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ (sao cho khi hạn chế lên $\mathbb{C}$ thì nó chính là tác động thông thường). Như vậy, khi bạn chọn một hệ tọa độ cho đa tạp affine $X$ (trên $\mathbb{C}$) của bạn, thì thực ra bạn đã chọn một phép nhúng $X \hookrightarrow \mathbb{C}^n$ nào đó, và như thế đã kéo theo việc chọn một tác động Galois. Chú ý rằng $X(\mathbb{R}) = X(\mathbb{C})^{\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})}$ nên tác động Galois khác nhau sẽ kéo theo tập các điểm hữu tỉ khác nhau. Trong ví dụ của bạn thì tác động Galois ứng với $\mathbb{R}$-form $\mathbb{R}[a,b]$ sẽ cố định các phần tử sinh $a$ và $b$ nhưng không cố định $ia$ và $ib$.

 

Hiện tượng hai vật đẳng cấu trên $\bar{F}$ nhưng không đằng cấu trên $F$ ($F$-form) là một vấn đề cơ bản và thú vị trong lý thuyết đối đồng điều Galois. Sau này bạn sẽ gặp thêm nhiều trường hợp khác như đa tạp Severi-Brauer, non-split torus, torsor, Hilbert 90...


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 18-03-2024 - 16:59

$$\text{H}^r_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K, M) \times \text{Ext}^{3-r}_{\mathcal{O}_K}(M,\mathbb{G}_m) \to \text{H}^3_{\text{ét}}(\mathcal{O}_K,\mathbb{G}_m) \cong \mathbb{Q}/\mathbb{Z}.$$

"Wir müssen wissen, wir werden wissen." - David Hilbert


#3
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 681 Bài viết

@nmd27082001 Headache thực sự. Anh nghĩ nên đọc hình học đại số bằng schemes trước chứ đừng học hình đại số từ mấy quyển sách đó. 



#4
nmd27082001

nmd27082001

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Em cảm ơn anh @nmlinh16 đã giải đáp câu hỏi của em. Sau khi xem lại các cuốn [1] thì em thấy là tác giả định nghĩa đa tạp affine $V$ bao giờ cũng có thêm là $V\subseteq \mathbb{A}^n$, điều này chính là đã chọn tọa độ cho $V$ và do đó ta có định nghĩa theo Mục I (trên Wikipedia cũng vậy :v)

Như vậy, việc ta nhúng đa tạp vào $\mathbb{C}^n$ theo em hiểu không chỉ fix một tác động của $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ mà còn xác định luôn $\mathbb{R}$-cấu trúc trên nó (theo như Mục I). Cụ thể, em viết lại ví dụ trong Bài tập 1.3.9 của [1] theo như anh Linh trình bày ở trên.

 

Screenshot 2024-03-18 220025.png

 

Câu hỏi này giúp em hiểu hơn tại sao người ta lại đi từ lý thuyết cổ điển lên hiện đại trong hình học đại số, như một GS ở ĐHKHTN từng nói: "Tọa độ chỉ là thứ con người tự bịa ra" :v Nếu em có hiểu sai chỗ nào mong các anh góp ý ạ. 

 

@nmd27082001 Headache thực sự. Anh nghĩ nên đọc hình học đại số bằng schemes trước chứ đừng học hình đại số từ mấy quyển sách đó. 

Em vẫn đọc anh ơi nhưng mà lúc xuất phát thì đọc theo kiểu cổ điển cho nên lúc nào em cũng có câu hỏi là tại sao cổ điển dùng tốt vậy rồi mà phải lên hiện đại :)) Dần dần thì thấy càng nhiều cái mà lý thuyết cổ điển có chỗ không ổn ạ (như câu hỏi này của em chẳng hạn). 



#5
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Anh nghĩ là cần chú ý rằng khái niệm đa tạp/lược đồ không chỉ giới hạn về vấn đề điểm mà còn có cấu trúc $k$-đại số ở trên đó. Trên trường đóng đại số, ta đã quen với việc định nghĩa đa tạp thông qua phép nhúng $X\subset \mathbb{A}^{n}$, và ta có Hilbert Nullstellensatz (song ánh $V\leftrightarrow I(V)$), nên cấu trúc đại số ở chỗ này dường như bị lãng quên. Nhưng trên trường không đóng đại số thì cấu trúc đại số là rất quan trọng. Có thể thấy điều đó từ (phản) tương đương phạm trù giữa $k$-lược đồ affine và $k$-đại số. Hai ideal có thể xác định cùng một tập nghiệm nhưng không đẳng cấu với nhau ($V(x)$ và $V(x^{2})$). 

 

Về câu chuyện descent: Ta cần tìm $k$-đại số $B$ để $B\otimes_{k} \bar{k}\cong A$. Nhưng $B$ này không phải lúc nào cũng là duy nhất. Một ví dụ khác là xét hai đường cong elliptic 

\[E_{1}: y^{2}=(x-a)(x-b)(x-c), \quad E_{2}: y^{2}=-(x-a)(x-b)(x-c), a, b, c\in \mathbb{R}.\]

Hai đường cong này đẳng cấu trên $\mathbb{C}$ thông qua $(x, y)\mapsto (x, iy)$ nhưng không đẳng cấu trên $\mathbb{R}$. Các $k$-form như vậy được xác định thông qua đối đồng điều Galois (xem định lý 3.41 trong [Milne, Algebraic Groups]). Về quan hệ giữa lược đồ trên $\mathbb{C}$ và $\mathbb{R}$ mà anh Linh nói ở trên có thể xem bài tập 4.7 chương II trong Hartshorne. 

 

Tính không duy nhất thực sự là một vấn đề, vì quá trình mở rộng trường làm mất đi nhiều thông tin. Ví dụ một lược đồ $X$ giản ước (bất khả quy) trên $k$ thì chưa chắc đã giản ước (bất khả quy) trên $\bar{k}$. 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 18-03-2024 - 22:37

"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck


#6
vutuanhien

vutuanhien

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán Cao cấp
  • 690 Bài viết

Thời điểm mà Borel phát triển lý thuyết nhóm đại số thì ngôn ngữ lược đồ vẫn chưa hoàn thiện. Ngôn ngữ ở trong các sách này là theo kiểu của Weil. Nếu đọc lý thuyết nhóm đại số thì anh nghĩ trước tiên chỉ cần quan tâm đến lý thuyết trên trường đóng đại số. Còn các câu hỏi về tính hữu tỷ trên một trường bất kỳ thì nên đọc Milne với ngôn ngữ lược đồ để tránh những sự khó hiểu của ngôn ngữ cũ. 


"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hình học đại số

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh