Chia $6n$ viên bi vào $4$ hộp
#1
Đã gửi 18-03-2024 - 16:45
- Nobodyv3 yêu thích
#2
Đã gửi 21-03-2024 - 17:56
Đã 3 ngày rùi không ai giúp mình cả .Thế thì cố gắng thui!
Theo đề bài ta có phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x_1+2x_2+3x_3+6x_4 &=6n \\
x_i :\text { nguyên,không âm}&
\end{matrix}\right.$$ có hàm sinh là :
$$\begin {align*}
G(x)&=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^6)}\\
&=\frac{(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)(1+x^2+x^4)(1+x^3)}{(1-x^6)^4}\\
\Rightarrow \left [ x^{6n} \right ]G(x)&=\left [ x^{6n} \right ]\left ( 1+4x^6+x^{12} \right )\sum_{k\geq 0}\binom{k+3}{3}x^{6k}\\
&=\boldsymbol {\binom{n+3}{3}\left [ \left [ n\geq 0 \right ] \right ]+4\binom{n+2}{3}\left [ \left [ n\geq 1 \right ] \right ]+\binom{n+1}{3}\left [ \left [ n\geq 2 \right ] \right ]}
\end {align*}$$Trong đó :
$$\left [ \left [ P \right ] \right ]=
\begin{cases}
1, &\text{nếu $P$ đúng;}\\
0, &\text{ngược lại.}
\end{cases}$$
- hxthanh và duong966123 thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
#3
Đã gửi 21-03-2024 - 19:25
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Bài này mình tình cờ đọc được trong một paper nào đó không nhớ rõ lắm. Trong đó họ ký hiệu $\|1,2,3,6;n\|$ để chỉ số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+2x_2+3x_3+6x_6=n$
Theo như công thức khủng bố trong đó thì mình tóm tắt lại thành:
$$ \|1,2,3,6;n\| = \fl{\dfrac{2n^3+36n^2+191n+8n(n+2\!\!\mod 4)-8n(n\!\!\mod 4)+9n(-1)^n+432}{432}}$$
Hay với $n\equiv 0\pmod 6$ thì
$$=\fl{\dfrac{(n+6)^3}{216}}$$
Và khi thay $n$ thành $6n$ thì ta có đáp án là $\mathbf{(n+1)^3}$
- Nobodyv3 yêu thích
#4
Đã gửi 21-03-2024 - 21:43
$\newcommand{\fl}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor}$
Bài này mình tình cờ đọc được trong một paper nào đó không nhớ rõ lắm. Trong đó họ ký hiệu $\|1,2,3,6;n\|$ để chỉ số nghiệm nguyên không âm của phương trình $x_1+2x_2+3x_3+6x_6=n$
Theo như công thức khủng bố trong đó thì mình tóm tắt lại thành:
$$ \|1,2,3,6;n\| = \fl{\dfrac{2n^3+36n^2+191n+8n(n+2\!\!\mod 4)-8n(n\!\!\mod 4)+9n(-1)^n+432}{432}}$$
Hay với $n\equiv 0\pmod 6$ thì
$$=\fl{\dfrac{(n+6)^3}{216}}$$
Và khi thay $n$ thành $6n$ thì ta có đáp án là $\mathbf{(n+1)^3}$
Nice result. You're truly amazing!
- hxthanh yêu thích
Thà rót cho ta..... trăm nghìn chung... rượu độc ...miễn sao đừng bắt em làm toán!..hu hu...
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh