Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng $V = kerT + imT$

- - - - -

Lời giải yungazier, 28-03-2024 - 23:57

Mọi người giúp em bài này với ạ.

Cho $T: V \rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính trên không gian vector $V$ sao cho $T^2 = T$. Chứng minh rằng $$V = kerT + imT \quad và \quad kerT \cap ImT = \{0\}$$

Em đã giải ra rồi ạ, đây là lời giải của em.
Gọi $x\in V$. Ta có $x=T(x) + (x - T(x))$. 
$T(x) \in imT$.
Xét $T(x-T(x))=T(x)-T(T(x))=T(x)-T^2(x)=0 \rightarrow x-T(x) \in kerT$

Vậy $V= kerT+imT$

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
yungazier

yungazier

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết

Mọi người giúp em bài này với ạ.

Cho $T: V \rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính trên không gian vector $V$ sao cho $T^2 = T$. Chứng minh rằng $$V = kerT + imT \quad và \quad kerT \cap ImT = \{0\}$$



#2
yungazier

yungazier

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 11 Bài viết
✓  Lời giải

Mọi người giúp em bài này với ạ.

Cho $T: V \rightarrow V$ là một ánh xạ tuyến tính trên không gian vector $V$ sao cho $T^2 = T$. Chứng minh rằng $$V = kerT + imT \quad và \quad kerT \cap ImT = \{0\}$$

Em đã giải ra rồi ạ, đây là lời giải của em.
Gọi $x\in V$. Ta có $x=T(x) + (x - T(x))$. 
$T(x) \in imT$.
Xét $T(x-T(x))=T(x)-T(T(x))=T(x)-T^2(x)=0 \rightarrow x-T(x) \in kerT$

Vậy $V= kerT+imT$



#3
Konstante

Konstante

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Ánh xạ $T$ chính là phép chiếu nên $\ker T \oplus \textrm{im} \, T = V$: điều này có thể thấy về mặt trực giác (qua định lý factorisation) bởi $T\circ T = T$ tương đương với $T\rvert_{\textrm{im} \, T} = id$. Thực ra để $\ker T \oplus \textrm{im} \, T = V$ thì chỉ cần $T\rvert_{\textrm{im} \, T}$ là một isomorphism là đủ, ví dụ khi $T \circ T = \lambda T$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 29-03-2024 - 23:27





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh