Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm tất cả các cặp hàm số $f,g:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thoả mãn: $f(x)+f(y)=g(x+y) \forall x,y\in \mathbb{Q}$.

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Duc91

Duc91

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 30 Bài viết

Tìm tất cả các cặp hàm số $f,g:\mathbb{Q}\rightarrow \mathbb{Q}$ thoả mãn: 

$f(x)+f(y)=g(x+y) \forall x,y\in \mathbb{Q}$.



#2
Konstante

Konstante

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 102 Bài viết

Lấy $y=0$ thì $f(x) + f(0) = g(x)$ với mọi $x$, từ đây không cần quan tâm đến $g$ vì hàm này xác định duy nhất qua $f$. Thay $g(x+y) = f(x+y) + f(0)$ thì $f(x) + f(y) = f(x+y) + f(0)$, từ đó $$\left(f(x) - f(0)\right) + \left(f(y) - f(0)\right) = f(x+y) - f(0)$$ với mọi $x,y$. Đặt $r(x) = f(x) - f(0)$ ta có phương trình Cauchy $$r(x) + r(y) = r(x+y)$$Trên $\mathbb{Q}$ phương trình này có nghiệm duy nhất $r(x) = xr(1)$, từ đó$$(f,g) = (ax+b, ax+2b)$$ với $a,b \in \mathbb{Q}$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 30-03-2024 - 10:59





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh