Chủ đề này có 2 trả lời

[huucong]

Có ai biết cách nào để biến đổi phương trình Elip từ dạng: 

$$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$$ 
thành dạng:

 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$  $$(b^{2}=a^{2}-c^{2})$$

 

Em thử biến đổi theo kiểu bình phương đến chết thì cũng ra nma dài dòng quá, em muốn tìm một cách biến đổi ngắn hơn

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huucong: 01-04-2024 - 21:27

[William Nguyen]

Để ý rằng ta luôn có $\left[\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right] .\left[\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right]=4cx$

 

Do đó $\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$

 

$\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a & \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2\frac{c}{a}.x& \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} = a+ \frac{c}{a}x& \\ \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=a- \frac{c}{a}x &\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}(x+c)^{2}+y^{2} =a^2+2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2 & \\ (x-c)^{2}+y^{2} =a^2-2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2 & \end{cases}$

 

$\Leftrightarrow x^2+c^2+y^2=a^2+\frac{c^2}{a^2}x^2 \Leftrightarrow \frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.$

 

Với chiều ngược lại ở vị trí dấu suy ra phía trên, ta có:

 

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \Rightarrow x^2 \leq a^2 \Leftrightarrow -a\leq x \leq a$

Do $0<c<a$ nên $-a^2<cx<a^2 \Leftrightarrow -a <\frac{c}{a}x<a$

Phá dấu giá trị tuyệt đối và ta được 2 phương trình tương đương nhau.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 01-04-2024 - 23:45

[huucong]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huucong: 05-04-2024 - 21:51