Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh phương trình chính tắc của Elip

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
huucong

huucong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

Có ai biết cách nào để biến đổi phương trình Elip từ dạng: 

$$\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$$ 
thành dạng:

 $$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$$  $$(b^{2}=a^{2}-c^{2})$$

 

Em thử biến đổi theo kiểu bình phương đến chết thì cũng ra nma dài dòng quá, em muốn tìm một cách biến đổi ngắn hơn

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huucong: 01-04-2024 - 21:27


#2
William Nguyen

William Nguyen

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 76 Bài viết

Để ý rằng ta luôn có $\left[\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right] .\left[\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}\right]=4cx$

 

Do đó $\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$

 

$\Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a & \\ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2\frac{c}{a}.x& \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}} = a+ \frac{c}{a}x& \\ \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=a- \frac{c}{a}x &\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}(x+c)^{2}+y^{2} =a^2+2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2 & \\ (x-c)^{2}+y^{2} =a^2-2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2 & \end{cases}$

 

$\Leftrightarrow x^2+c^2+y^2=a^2+\frac{c^2}{a^2}x^2 \Leftrightarrow \frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2=a^2-c^2 \Leftrightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1.$

 

Với chiều ngược lại ở vị trí dấu suy ra phía trên, ta có:

 

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2-c^2}=1 \Rightarrow x^2 \leq a^2 \Leftrightarrow -a\leq x \leq a$

Do $0<c<a$ nên $-a^2<cx<a^2 \Leftrightarrow -a <\frac{c}{a}x<a$

Phá dấu giá trị tuyệt đối và ta được 2 phương trình tương đương nhau.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi William Nguyen: 01-04-2024 - 23:45


#3
huucong

huucong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết

 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huucong: 05-04-2024 - 21:51





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh