Đến nội dung

Hình ảnh

$a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng $2a+b+c\leq \frac{9}{2}$


Lời giải Leonguyen, 04-04-2024 - 06:20

$a^2+b^2+c^2+abc=4\Leftrightarrow a^2+bc.a+b^2+c^2-4=0.$ Coi $a$ là ẩn, ta có $\Delta=b^2c^2-4(b^2+c^2-4)$ $=(4-b^2)(4-c^2)\ge0.$

Do đó phương trình có hai nghiệm: $a_1=\frac{-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}$ và $a_2=\frac{-bc-\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}<0$ (loại). 

Ta có: \begin{align*}2a+b+c&=-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}+b+c\le-bc+\frac{8-b^2-c^2}{2}+b+c\\&=4-\frac{(b+c)^2}{2}+(b+c)=-\frac{1}{2}[(b+c)-1]^2+\frac{9}{2}\le\frac{9}{2} \end{align*}

Vậy ta có đpcm.

Đi đến bài viết »


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
quanganhvu1503

quanganhvu1503

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 16 Bài viết

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc=4$. Chứng minh rằng $2a+b+c\leq \frac{9}{2}$



#2
Leonguyen

Leonguyen

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 170 Bài viết
✓  Lời giải

$a^2+b^2+c^2+abc=4\Leftrightarrow a^2+bc.a+b^2+c^2-4=0.$ Coi $a$ là ẩn, ta có $\Delta=b^2c^2-4(b^2+c^2-4)$ $=(4-b^2)(4-c^2)\ge0.$

Do đó phương trình có hai nghiệm: $a_1=\frac{-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}$ và $a_2=\frac{-bc-\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}}{2}<0$ (loại). 

Ta có: \begin{align*}2a+b+c&=-bc+\sqrt{(4-b^2)(4-c^2)}+b+c\le-bc+\frac{8-b^2-c^2}{2}+b+c\\&=4-\frac{(b+c)^2}{2}+(b+c)=-\frac{1}{2}[(b+c)-1]^2+\frac{9}{2}\le\frac{9}{2} \end{align*}

Vậy ta có đpcm.


"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"

(Giáo sư Tạ Quang Bửu)





2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh