Chủ đề này có 2 trả lời

[supermember]

Từ $9$ chữ số  $\{ 1; 2 ; 3;...; 9 \}$ liệu có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $15$ chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây:

- $2$ chữ số $1$ và $2$ mỗi chữ số xuất hiện đúng $5$ lần.
- Các chữ số còn lại xuất hiện không quá $1$ lần.
- Các chữ số lớn hơn $2$ không có $2$ số nào đứng cạnh nhau. 

[Nobodyv3]

Từ $9$ chữ số  $\{ 1; 2 ; 3;...; 9 \}$ liệu có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có $15$ chữ số thỏa mãn đồng thời các điều kiện dưới đây:

- $2$ chữ số $1$ và $2$ mỗi chữ số xuất hiện đúng $5$ lần.
- Các chữ số còn lại xuất hiện không quá $1$ lần.
- Các chữ số lớn hơn $2$ không có $2$ số nào đứng cạnh nhau.

Welcome back.
Lúc này không post các bài functional equations nữa hả anh?
======
Xếp các chữ số 1 và 2: $\frac{10!}{5!5!}$
Chọn 5 chữ số còn lại và xếp chúng vào 11 khoảng trống : $C_7^5\cdot A_{11}^5$
Số các số thỏa yêu cầu là :
$\frac{10!}{5!5!}\cdot C_7^5\cdot A_{11}^5=293388480$

[supermember]

Bài này supermember giải hơi dài, không rõ là các bạn khác giải thế nào. Chắc do lâu ngày không làm Toán nên chỉ làm theo " tiềm thức " thôi. Thôi thì supermember cứ trình bày lời giải chân quê bình dị ra ở đây, anh em có gì thì vào góp ý.

Tưởng tượng số có $15$ chữ số như $1$ dãy gồm $15$ ô vuông, trong đó ta chọn các số từ tập $ A = \{ 1;2;....; 9 \}$ để điền vào các ô vuông này. $1$ chữ số có thể xuất hiện nhiều lần trong dãy.

Thay vì xét bài Toán với các chữ số thuộc tập $B =  \{ 3; 4; 5; ...; 9 \}$, ta đại diện tất cả các chữ số lớn hơn $2$  thuộc tập $B$ bởi $1$ số $a$.
Sau khi giải bài Toán ở dạng đơn giản hơn (chỉ gồm số $a$), ta sẽ dùng quy tắc nhân để tính ra kết quả đúng của bài toán tổng thể.

Gọi  $x_1 ; x_2;...; x_5$ là số thứ tự vị trí của $5$ số $a$ này trong $1$ dãy  $15$ chữ số thỏa yêu cầu bài Toán.

 

Thì do có tổng cộng $10$ chữ số khác $a$ trong dãy này nên ta hiển nhiên có phương trình:

 

$ (x_1 -1) + (x_2 - x_1 -1) +  (x_3 - x_2 -1) + (x_4 - x_3 -1)  + (x_5 - x_4 -1) + (15-x_5 ) =10$

 

Tương đương với $  (x_1 -1) + (x_2 - x_1 -2) +  (x_3 - x_2 -2) + (x_4 - x_3 -2)  + (x_5 - x_4 -2) + (15-x_5 ) =6$  $ (*)$

Số cách chọn ra vị trí cho 1 bộ $5$ số $a$ này chính là số bộ nghiệm nguyên dương $(x_1; x_2; ...; x_5)$  của $(*)$, thỏa $ 1 \leq x_1 <x_2 <... < x_5 \leq 15$ và $ x_{i+1} - x_{i} \geq 2$ với mọi $ i = \overline{1;4}$ . Ta gọi số bộ nghiệm này là $\alpha$

 

Do giả thiết bài Toán, $2$ số $a$ không được đứng kề nhau, nên điều đó tương đương với:

 

Tất cả các số $ (x_2 - x_1 -2) ;  (x_3 - x_2 -2) ; (x_4 - x_3 -2)  ; (x_5 - x_4 -2) $ đều là số nguyên không âm.

Ta đặt ẩn phụ: $ y_1 = x_1 -1 ; y_2 = x_2 - x_1 -2 ; y_3 = x_3 - x_2 -2; y_4 = x_4 - x_3 -2; y_5 = x_5 - x_4 -2; y_ 6 = 15 - x_5$ thì hiển nhiên $ y_1 ; y_2 ; ... ; y_6$ đều là những số nguyên không âm và phương trình $(*)$ trở thành:

 

$ y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 6$ $(**)$

 

Rõ ràng thì  số bộ nghiệm nguyên  không âm $ (y_1 ; y_2 ; y_3 ; y_4 ; y_5 ; y_6)$  của $(**)$ cũng chính bằng  $\alpha$.

Nên để tính $\alpha$ thì ta chỉ cần đi tính số bộ nghiệm nguyên không âm của phương trình $(**)$.

 

Ta thấy ngay là số bộ nghiệm nguyên không âm của $(**)$ chính là bằng hệ số $x^6$ trong khai triển đa thức $ (1+x+x^2 +...+ x^6)^6$

Ta nếu biết công cụ hàm sinh thì đúng là tính cái này rất nhanh, tuy nhiên nếu không biết hàm sinh thì có thể làm cách đơn giản hơn như sau:

ta ký hiệu $ [x^n] f(x)$ là hệ số của $x^n$ trong khai triển đa thức $f(x)$

 

Như thế thì: $ [x^6] (1+x+x^2 +...+ x^6)^6  =  [x^6] \left( (1+x+x^2) +x^3 (1+x+x^2+x^3) \right)^6  $ 

 

$ = [x^6](1+x+x^2)^6 + 6 [x^6] \left( (1+x+x^2)^5  \cdot x^3 \cdot (1+x+x^2+x^3) \right) + 15 [x^6] \left( (1+x+x^2)^4 \cdot x^6 \cdot (1+x+x^2+x^3)^2 \right) $

 

$ =  [x^6] \left( (1+x)+x^2 \right)^6  + 6 [x^3] \left( (1+x+x^2)^5 \cdot (1+x+x^2+x^3) \right) +15$ $(1)$
 

Ta sẽ đi tính từng phần nhỏ:

$ [x^6] \left( (1+x)+x^2 \right)^6 =  [x^6](1+x)^6 + 6  [x^6](1+x)^5 x^2 +  15  [x^6](1+x)^4 x^4 +  20 [x^6](1+x)^3 x^6$

 

$ = 1 +  6  [x^4](1+x)^5 + 15  [x^2](1+x)^4 + 20 [x^0](1+x)^3$

 

$ \implies [x^6] \left( (1+x)+x^2 \right)^6 = 1 + 30 + 90 + 20 = 141$  $(2)$

$ [x^3] \left( (1+x+x^2)^5 \cdot (1+x+x^2+x^3) \right) =   [x^3](1+x+x^2)^6 +  [x^3] \left( (1+x+x^2)^5 \cdot x^3 \right)$

 

$ = 1 +  [x^3] \left( (1+x) +x^2 \right)^6 = 1 +  [x^3](1+x)^6 + 6 [x^3] \left( (1+x)^5 \cdot x^2 \right)$

 

$ = 1 +  20 +  6 [x^1] (1+x)^5 = 1 +  20 +  6.5  $

 

$ \implies  [x^3] \left( (1+x+x^2)^5 \cdot (1+x+x^2+x^3) \right) = 51$ $(3)$

 

Từ $(1); (2); (3)$ , suy ra:

 

$ \alpha =  141 + 6 \cdot 51 + 15 =462$

(Thực chất nếu dùng hàm sinh thì tính ra ngay $\alpha= \binom{11}{5}$ )

Bài Toán đến đây coi như xong.

Vì việc thiết kế $1$ dãy thỏa đề sẽ gồm các bước sau:

Bước $1$, chọn vị trí cho $5$ số lớn hơn $2$ trong dãy, theo như tính toán ở trên, có $ \binom{11}{5}$ (cách chọn)

Bước  $2$, chọn ra $ 5$ số khác nhau từ tập $ B =  \{ 3; 4; 5; ...; 9 \}$ để thay vào các vị trí số $a$ này, có $ \binom{7}{5}$ (cách chọn)

Do tập $B$ có $7$ phần tử phân biệt.

Bước $3$  Do mỗi $1$ cách hoán vị  bộ $5$ số vừa chọn ở bước $2$ sẽ cho ra $1$ dãy số gồm $15$ chữ số thỏa đề  khác nhau, nên ta cần lưu ý đến số hoán vị của bộ $5$ số này, chính bằng $5!$ (cách hoán vị)

 

Bước $4$ Chọn ra $5$  vị trí để điền các số $1$ trong $10$ vị trí còn lại, có $ \binom{10}{5}$ (cách chọn)

Theo quy tắc nhân, số bộ số thỏa đề bằng:

$  \binom{11}{5} \cdot  \binom{7}{5} \cdot 5! \cdot  \binom{10}{5} = 293 388 480$

Bài Toán theo đó được giải quyết hoàn toàn.