Hình học cứng (đầy đủ, hình học giải tích cứng) là một dạng hình học giải tích trên trường phi ác-si-mét. Trong bài viết này ta trình bày một dẫn nhập vào hình học này.
Một số khái niệm tổng quát
Cho $A$ là một vành giao hoán có đơn vị, một nửa chuẩn (tương ứng, chuẩn) trên $A$ là một ánh xạ $\left| \cdot \right| \colon A \longrightarrow \mathbb{R}_{\geq 0}$ thỏa mãn các điều kiện sau (với $a,b\in A$):
- $\left|1 \right| \leq 1$ và $\left |0 \right|=0$ (tương ứng, $\left|a \right| = 0 \Leftrightarrow a = 0$);
- $\left|ab \right| \leq \left| a \right|\left|b \right|$;
- $\left|a + b \right| \leq \max(\left|a\right|,\left|b\right|)$.
Trên mọi vành $A$ luôn có một chuẩn tầm thường thỏa mãn $\left|a \right|=1$ với mọi $a \neq 0$. Ta ký hiệu $A^{\circ} = \left|a \in A \mid \left|a \right | \leq 1 \right \}$ và $A^{\vee} = \left \{a \in A \mid \left|a \right| <1 \right \}$. Ta thấy rằng $A^{\circ}$ là một vành nửa chuẩn (tương ứng, chuẩn) con của $A$ và $A^{\vee}$ là một ideal của $A^{\circ}$. Ký hiệu $\widetilde{A} = A^{\circ}/A^{\vee}$ và gọi nó là vành thặng dư.
Khi nửa chuẩn (tương ứng, chuẩn) đã rõ, ta chỉ viết $A$ thay vì $(A,\left| \cdot \right|)$.
- Cho $A$ là một vành nửa chuẩn và $p \colon A \twoheadrightarrow B$ là một toàn cấu của các vành. Khi đó ta có thể định nghĩa một nửa chuẩn trên $B$ bởi $\left|b \right|_p= \inf_{a \in p^{-1}(b)}\left|a \right|$. Không khó để chứng minh rằng $\left| \cdot \right|_p$ là một chuẩn khi và chỉ khi $p^{-1}(0)=\operatorname{Ker}(p)$ là đóng (theo nghĩa tô-pô) trong $A$.
- Cho một vành $A$ và hai $A$-đại số $B_1,B_2$ được định chuẩn. Ta định nghĩa một nửa chuẩn trên $B \otimes_A C$ bởi $$\left|v \right | = \inf \left\{ \sup \left\{\left|b_1\right|\left|c_1\right|,...,\left|b_n \right|\left|c_n \right| \right \} \mid v = b_1 \otimes c_1 +\cdots b_n\otimes c_n \right \}$$ trong đó $v \in B \otimes_A C$.
Một nửa chuẩn trên $A$ được gọi là nhân tính nếu $\left|a b \right| = \left|a \right|\left|b \right|$ với mọi $a,b \in A$. Một định giá trên một trường $k$ là một chuẩn nhân tính trên $k$.
Cho $A$ là một vành nửa chuẩn, một chuỗi hình thức $n$ biến $T_1,...,T_n$
$$f = \sum_{I} a_I T^I = \sum_{i_1,...,i_n \in \mathbb{N}}a_{i_1,...,i_n}T_1^{i_1}\cdots T_n^{i_n}$$
được gọi là hội tụ ngặt nếu $\left| a_I \right| \to 0$ khi $\left|I \right | = i_1 + \cdots + i_n \to \infty$. Ta ký hiệu $A\left \{T_1,...,T_n \right \}$ là tập các chuỗi hội tụ ngặt. Nó là một $A$-đại số con của các chuỗi hình thức $A[[T_1,...,T_n]]$. Ta cũng ký hiệu $A^{\circ}\left \{T_1,...,T_n \right \}$ bởi tập con của $A\left \{T_1,...,T_n \right\}$ chứa các $f$ mà $\left|a_{i_1,...,i_n}\right| \leq 1$ (tức là thuộc $A^{\circ}$ với mọi $i_1,...,i_n \in \mathbb{N}$.
Mệnh đề dưới đây nói rằng tồn tại một chuẩn, gọi là chuẩn Gauss trên $A\left \{T_1,...,T_n \right \}$.
Cho $A$ là một vành nửa chuẩn (tương ứng, chuẩn) và ta xét
$$f = \sum_{I} a_I T^I = \sum_{i_1,...,i_n \in \mathbb{N}}a_{i_1,...,i_n}T_1^{i_1}\cdots T_n^{i_n}$$
trong $A\left \{T_1,...,T_n \right \}$. Khi đó ánh xạ $f \mapsto = \sup_I \left|a_I \right| = \sup_{i_1,...,i_n \in \mathbb{N}} \left|a_{i_1,...,i_n }\right|$ định nghĩa một nửa chuẩn (tương ứng, chuẩn) trên $A\left \{T_1,...,T_n \right \}$ gọi là nửa chuẩn Gauss (tương ứng, chuẩn Gauss). Khi nửa chuẩn (tương ứng, chuẩn) trên $A$ là nhân tính và $\widetilde{A}$ là một miền nguyên thì nửa chuẩn Gauss (tương ứng, chuẩn Gauss) cũng nhân tính.
Tất cả các tính chất đều hiển nhiên trừ tính nhân tính nên ta sẽ chỉ chứng minh tính chất này. Tồn tại một đồng cấu thặng dư chính tắc $A^{\circ} \twoheadrightarrow \widetilde{A}$. Đồng cấu này cảm sinh một đồng cấu
$$\pi \colon A^{\circ}\left\{T_1,...,T_n \right \} \twoheadrightarrow \widetilde{A}[T_1,...,T_n] $$
Ta có $\pi(f) = 0$ khi và chỉ khi $\left|f \right | < 1$. Với $f,g \in A\left \{T_1,...,T_n \right \}$ thỏa mãn $\left|f \right| = \left|g \right| = 1$ thì $f,g,fg \in A^{\circ}\left \{T_1,...,T_n \right\}$. Ta có $\pi(fg) =\pi(f)\pi(g) \neq 0$ do $\widetilde{A}[T_1,...,T_n]$ là miền nguyên. Như vậy ta phải có $\left|fg \right|=1$. Như vậy tính nhân tính được chứng minh trong trường hợp này. Trường hợp tổng quát ta viết $f = af'$ và $g= bg'$ với $a,b \in A$ sao cho $\left|f \right| = \left|a \right|$ và $\left |g \right | = \left|b \right|$.
Cho $A$ là một vành nửa chuẩn (tương ứng, chuẩn), khi đó nửa chuẩn (tương ứng, chuẩn) trên $A$ định nghĩa một giả-metric (tương ứng, metric) bởi $d(a,b) = \left|a - b \right|$. Một đồng cấu $f \colon A \longrightarrow B$ của các vành nửa chuẩn được gọi là liên tục nếu nó liên tục với tô-pô định nghĩa bởi các nửa-metric tương ứng. Nó được gọi là bị chặn nếu $\left|f(a)\right| \leq M\left|a\right|$ với hằng số $M \in \mathbb{R}$ nào đó. Một đồng cấu bị chặn thì hiển nhiên liên tục. Nó được gọi là một phép đẳng cự nếu $\left|f(a) \right|=\left|a\right|$.
Cho $A$ là một vành nửa chuẩn, một làm đầy của $A$ là một vành nửa chuẩn $\hat{A}$ cùng với một phép đẳng cự $A \longrightarrow \hat{A}$ với ảnh trù mật.
Mọi vành nửa chuẩn $A$ đều nhận một làm đầy $\hat{A}$ chính xác tới một đẳng cấu. Hơn nữa, $\left|A \right| = \left|\hat{A}\right|$.
Chứng minh này tiêu chuẩn nên được để lại như một bài tập.
Gọi $A$ là một vành và $B,C$ là hai $A$-đại số được trang bị các nửa chuẩn, ta định nghĩa $B \hat{\otimes}_A C$ là làm đầy của $B \otimes_A C$ với chuẩn định nghĩa trong ví dụ 1.
Bằng tính phổ dụng ta có mệnh đề sau.
Cho $A$ là một vành định chuẩn đầy đủ, khi đó ánh xạ chính tắc $A\left\{T_1,...,T_n \right \} \otimes_A A\left\{S_1,...,S_m \right \} \longrightarrow A\left \{ T_1,...,T_n,S_1,...,S_m \right \}$ cảm sinh một đẳng cấu
$$A\left\{T_1,...,T_n \right \} \hat{\otimes}_A A\left\{S_1,...,S_m \right \} \overset{\sim}{\longrightarrow} A\left \{ T_1,...,T_n,S_1,...,S_m \right \}$$
Đại số Tate
Trong phần này ta giới hạn sự quan tâm vào tường hợp $A = k$ là một trường định giá. Để ngắn gọn, từ giờ trở về sau ta sẽ ký hiệu $T_n(k)$ cho $k\left \{T_1,...,T_n \right \}$ và gọi nó là đại số Tate $n$ biến trên $k$. Bổ đề sau được xem như một bài tập.
Cho $k$ là trường định giá. Khi đó
- $\left|a+b \right| = \max\left\{\left|a \right|,\left|b \right | \right\}$ nếu $\left|a \right| \neq \left|b \right|$.
- Một chuỗi $\sum_{n=0}^{\infty}a_n$ là Cauchy khi và chỉ khi $\lim_{n \to \infty} \left|a_n \right| = 0$.
Cho $k$ là trường định giá đầy đủ, khi đó $T_n(k)$ là một $k$-đại số Banach với chuẩn Gauss.
Giả sử rằng ta có một dãy Cauch \begin{equation*}
f_i = \sum a_{I,i} X^I \ \ \ \ \left \|f_i - f_j \right \| < \epsilon \ \forall \ m,l \gg 0.
\end{equation*} Khi đó với mỗi $I$ cố định thì bản thân dãy $\left \{a_{I,i} \right \}$ phải là dãy Cauchy trong $k$ và do $k$ dầy đủ nên chúng hội tụ về $a_I$ nào đó. Ta xét $f = \sum a_I X^I$ và chứng minh nó là giới hạn của dãy $\left \{f_i \right \}$. Hiển nhiên nó là giới hạn của dãy nếu nó xác định tốt: ta cần chứng minh $f$ thực sự là một phần tử của $T_n$; tức là $\lim_{ \left |J \right | \to \infty} \left| a_I \right |=0$. Ta có \begin{equation*}
\left |a_I \right| = \left |a_I - a_{I,i} + a_{I,i} \right | \leq \operatorname{max}\left \{\left |a_I - a_{I,i} \right |, \left |a_{I,i} \right| \right\}. \end{equation*} Ta thấy $\left| a_I- a_{I,i} \right |$ đủ bé nếu $l$ đủ lớn theo định nghĩa và $\left |a_{I,i} \right|$ lại đủ bé nếu $\left |I \right |$ đủ lớn do $f_i \in T_n$. Như vậy ta làm theo bước sau: với $\left |I \right |$ đủ lớn thì $\left |a_{I,i} \right|$ bé với $i$ nào đó chọn sau, sau đó ta lại chọn $i$ đủ lớn để $\left |a_I - a_{I,i} \right|$ đủ bé và bằng cách này $\left |a_I \right|$ sẽ bé nếu $\left |I \right |$ lớn, cho ta đpcm.
Cho $k$ là trường định giá đầy đủ khi đó theo lý thuyết thì mọi mở rộng hữu hạn $k'/k$ nhận một mở rộng chuẩn trên $k$ và $k'$ cũng đầy đủ với chuẩn mở rộng này. Cụ thể hơn ta thể định nghĩa $\left|x' \right| = \left|\mathrm{N}_{k'/k}(x') \right|^{1/[k':k]}$ với $x' \in k'$. Nói riêng ta có thể định nghĩa một chuẩn trên $k^{alg}$ mở rộng chuẩn trên $k$ (lưu ý rằng chuẩn này không nhất thiết đầy đủ).
Ta định nghĩa khối cầu đóng $n$ chiều bởi
$$B^n(k^{alg}) = \left \{x=(x_1,...,x_n) \in (k^{alg})^n \mid \left|x_i \right| \leq 1 \right \}.$$
Một chuỗi lũy thừa hình thức $f = \sum a_I T^I$ hội tụ tại mọi điểm $x \in B^n(k^{alg})$ khi và chỉ khi $f \in T_n(k)$.
Nếu $f$ hội tụ tại $(1,...,1)$ thì $\sum a_I$ hội tụ nên theo bổ đề 2 thì $\lim_{\left|I \right| \to \infty} \left|a_I \right| = 0$; nói cách khác, $f \in T_n(k)$. Ngược lại giả sử $f \in T_n(k)$. Với mọi $x = (x_1,...,x_n) \in B^n(k^{alg})$, tồn tại một mở rộng hữu hạn $k'/k$ sao cho $k'$ chứa tất cả $a_1,...,a_n$. Khi đó do $\lim_{\left|I \right| \to \infty}\left|a_I \right|$ nên $\lim_{\left|I\right| \to \infty} \left|a_I \right|\left|x^I \right| = 0$ và đó $f(x)$ hội tụ trong $k' \subset k^{alg}$ nên ta có đpcm theo bổ đề 2.
Mệnh đề dưới đây được biết đến với tên nguyên lý cực đại.
Cho $f \in T_n(k)$ khi đó $\left| f(x) \right| \leq \left| f \right|$ với mọi $x \in B^n(k^{alg})$. Quan trọng hơn, tồn tại $x \in B^n(\overline{k})$ sao cho $\left| f(x) \right| = \left |f \right|$.
Phát biểu đầu tiên là hiển nhiên, ta chứng minh phát biểu thứ hai. Không giảm tổng quát, ta lại giả sử $\left|f \right|=1$ và xét ánh xạ chính tắc $\pi \colon k^{\circ}\left\{T_1,...,T_n \right \} \to \widetilde{k}[T_1,...,T_n]$. Ta thấy rằng $\pi(f)$ là một đa thức $n$ biến không tầm thường (xem chứng minh mệnh đề 1) nên tồn tại $\widetilde{x} \in ((\widetilde{k})^{alg})^n$ sao cho $\pi(f)(\widetilde{x}) \neq 0$. Lý thuyết về định giá cho ta biết rằng $(\widetilde{k})^{alg} = \widetilde{k^{alg}}$. Chọn $x \in B^n(k^{alg})$ là một phép nâng của $\widetilde{x}$ Xét biểu đồ giao hoán
\begin{xy}
\xymatrix {
k^{\circ}\left\{T_1,...,T_n \right \} \ar[r] \ar[d]& \widetilde{k}[T_1,...,T_n] \ar[d] \\
(k^{alg})^{\circ} \ar[r] & (\widetilde{k})^{alg}
}
\end{xy}
trong đó mũi tên dọc bên trái là phép tính tại $x$ và mũi tên dọc bên phải là phép tính tại $\widetilde{x}$. Do $f(x) \in (k^{alg})^{\circ}$ được ánh xạ tới $\pi(f)(\widetilde{x}) \in \widetilde{k^{alg}}$ khác không nên ta phải có $\left|f(x) \right| = \left|f \right| = 1$.
Đại số Tate có các tính chất giống với vành đa thức $n$ biến như được phát biểu dưới đây, chứng minh của chúng sử dụng các kỹ thuật giống với các kỹ thuật trong giải tích phức thông qua phép biểu diễn Weierstrass nên ta sẽ không chứng minh chúng. Người đọc có thể tìm được chứng minh của chúng trong bất cứ cuốn sách nào về hình học cưng.
Đại số Tate $n$ biến $T_n(k)$ thỏa mãn các tính chất sau:
- $T_n(k)$ là miền nguyên, noetherian, chính quy và có phân tích duy nhất. Với mọi ideal cực đại $\mathfrak{m}$ thì vành địa phương $(T_n(k))_{\mathfrak{m}}$ có chiều $n$ và trường thặng dư $T_n(k)/\mathfrak{m}$ là một mở rộng hữu hạn của $k$.
- Vành $T_n(k)$ là Jacobson, tức là mọi ideal nguyên tố là giao của các ideal cực đại.
- Mọi ideal của $T_n(k)$ là đóng với chuẩn Gauss. Theo ví dụ 1 thì vành thặng dư $T_n(k)/I$ là định chuẩn với mọi ideal $I$.
Ta xem xét tính phổ dụng của đại số Tate.
Cho $A$ là một $k$-đại số Banach, tức là một $k$-đại số được trang bị một chuẩn $\left \| \cdot \right \|$ sao cho:
- $\left|a \right|\left \|v \right \| = \left \|av \right \|$.
- $\left \|v_1 v_2 \right \|\leq \left \|v_1 \right \|\left \|v_2 \right \|$.
và $A$ đầy đủ với chuẩn đã cho. Ta nói $v \in A$ là bị chặn mũ nếu tập $\left \{v^i \mid i \in \mathbb{N} \right \}$ bị chặn. Tức là tồn tại $M > 0$ mà $\left|v^i \right| \leq M$ với mọi $i \in \mathbb{N}$. Ký hiệu $A^0$ bởi tập các phần tử bị chặn mũ.
Cho $A$ là một $k$-đại số Banach.. Khi đó ánh xạ
\begin{align*} \operatorname{Hom}(T_n(k),A) & \longrightarrow (A^0)^n \\ f & \longmapsto (f(T_1),...,f(T_n)) \end{align*}
là một song ánh.
Trước khi chứng minh mệnh đề này, ta có bổ đề sau
Cho $f \colon A \longrightarrow B$ là một $k$-đồng cấu tuyến tính giữa hai $k$-đại số Banach. Giả sử chuẩn trên $k$ không tầm thường, khi đó $f$ là liên tục khi và chỉ khi $f$ bị chặn.
Hiển nhiên bị chặn suy ra liên tục (thậm chí liên tục đều). Ta chứng minh chiều ngược lại, giả sử $f$ liên tục nhưng $f$ không bị chặn. Do chuẩn trên $k$ không tầm thường, tồn tại $a \in k$ mà $0 < \left |a \right| < 1$. Khi đó tồn tại một dãy $v_i$ mà $\left|a^{-i}\right|\left \|v_i \right \| < \left \|f(v_i) \right\|$. Ta có thể giả sử dãy $v_i$ bị chặn. Thật vậy, mỗi $v_i$ không thay đổi vai trò nếu ta nhân với một hằng số nên ta chỉ cần chứng minh với mỗi $v \in A$ tồn tại $c \in k$ mà $1 \leq \left \|cv \right \| \leq \max \left \{\left|a\right|,\left |a^{-1}\right| \right \}$. Rõ ràng chỉ cần chọn $c=a^i$ với $i \in \mathbb{Z}$ hợp lý là được. Khi đó dãy $v'_i = a^i v_i$ thỏa mãn $\left \|f(v'_i)\right \| \geq 1$ nhưng $\lim_{i \to \infty} \left \|v_i' \right \| \to 0$.
Theo bổ đề trên thì phép xây dựng $A \to A^0$ có tính hàm tử và do $T_1,...,T_n$ là các phần tử bị chặn mũ trong $T_n(k)$ nên ánh xạ trong mệnh đề 5 được định nghĩa tốt. Ngược lại với mọi $(a_1,...,a_n) \in (A^0)^n$ thì phép tương ứng $T_i \mapsto a_i$ định nghĩa một đồng cấu của các $k$-đại số $k[T_1,...,T_n] \to A$. Lưu ý rằng ta có thể thác triển đồng cấu này thành một đồng cấu $T_n(k) \to A$ do $k[T_1,...,T_n]$ trù mật trong $T_n(k)$.
Tính chất sau đây được xem như một phiên bản của định lý không điểm Hilbert. Nhắc lại rằng với một trường đóng đại số $F$ thì các ideal cực đại của $F[T_1,...,T_n]$ song ánh với $F^n$. Trong trường hợp không đóng đại số thì nó song ánh với quỹ đạo của tác động của $\operatorname{Gal}(F^{alg}/F)$ trên $(F^{alg})^n$. Ta có
Tồn tại một song ánh giữa tập các ideal cực đại của $T_n(k)$ với tập các quỹ đạo của tác động của $\operatorname{Gal}(k^{alg}/k)$ trên khối cầu đơn bị $B^n(k^{alg})$.
Với $x = (x_1,...,x_n) \in B^n(k^{alg})$ ta ký hiệu
$$\mathfrak{m}_x = \left \{f \in T_n(k) \mid f(x) = 0 \right \}$$ thì $\mathfrak{m}_x$ sẽ là một ideal cực đại do nó là hạt nhân của toàn cấu $T_n(k) \to k, f \mapsto f(x)$. Do $f(\phi(x)) = \phi(f(x))$ với mọi $\phi \in \operatorname{Gal}(k^{alg}/k)$ nên ta có một ánh xạ
$$B^n(k^{alg})/\operatorname{Gal}(k^{alg}/k) \longrightarrow \operatorname{Max}(T_n(k))$$ và ta sẽ chứng minh nó là song ánh bằng cách xây dựng ánh xạ ngược. Gọi $\mathfrak{m}$ là một ideal cực đại của $T_n(k)$ thì theo định lý 1 ta thấy $T_n(k)/\mathfrak{m}$ là một mở rộng hữu hạn của $k$ do đó ta có thể nhúng $\phi \colon T_n(k)/\mathfrak{m} \hookrightarrow k^{alg}$. Ta định nghĩa $x_i = \phi(T_i \ \mathrm{mod} \ \mathfrak{m})$ với mọi $i = 1,...,n$. Theo tính phổ dụng của đại số Tate thì $x_i$ bị chặn mũ, nói riêng $\left|x_i \right| \leq 1$. Điều này cho ta một điểm $x=(x_1,...,x_n) \in B^n(k^{alg})$. Có thể kiểm tra rằng $\mathfrak{m} \mapsto x$ theo cách này cho ta một ánh xạ ngược của ánh xạ ban đầu.
Edited by bangbang1412, 26-04-2024 - 22:27.
